Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Пусть ${\displaystyle H_{n}}$ — последовательность функторов из категории пар ${\displaystyle (X,A)}$ топологических пространств в категорию коммутативных групп, снабжённая естественным преобразованием ${\displaystyle \partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$, называемым границей. (Здесь ${\displaystyle H_{i-1}(A)}$ является сокращением для ${\displaystyle H_{i-1}(A,\emptyset )}$.)

1. Гомотопическая эквивалентность индуцирует те же гомологии. То есть, если ${\displaystyle g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$ гомотопно ${\displaystyle h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$, то их индуцированные отображения одинаковы.
2.   Предположим, ${\displaystyle (X,A)}$ есть пара и ${\displaystyle U}$ — подмножество ${\displaystyle X}$, такое, что его замыкание содержится во внутренности ${\displaystyle A}$. Тогда включение ${\displaystyle i\colon (X-U,A-U)\to (X,A)}$ индуцирует изоморфизм в гомологии.
3. Пусть ${\displaystyle P}$ есть одноточечное топологическое пространство, тогда ${\displaystyle H_{n}(P)=0}$ для всех ${\displaystyle n\neq 0}$.
4. Если ${\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}}$, дизъюнктное объединение семейства топологических пространств ${\displaystyle X_{\alpha }}$, то ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })}$.
5. Каждая пара ${\displaystyle (X,A)}$ индуцирует длинную точную последовательность гомологий по включениям ${\displaystyle i\colon A\to X}$ и ${\displaystyle j\colon X\to (X,A)}$:

   ${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .}$

• Ч. Коснёвски Начальный курс алгебраической топологии