Разложение Риччи

Разложение выглядит так:

${\displaystyle R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.}$

Его элементами являются:

1. скалярная часть ${\displaystyle S_{abcd}}$,
2. полубесследовая часть ${\displaystyle E_{abcd}}$,
3. полностью бесследовая часть, носящая специальное название тензор Вейля, ${\displaystyle C_{abcd}}$.

Каждый элемент имеет те же симметрии, как и тензор кривизны, но также обладает специфическими алгебраическими свойствами.

Скалярная часть

${\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)}}\,H_{abcd}}$

зависит только от скалярной кривизны ${\displaystyle R={R^{m}}_{m}}$ (где ${\displaystyle R_{ab}={R^{c}}_{acb}}$ — тензор Риччи), и метрического тензора ${\displaystyle g_{ab}}$, который комбинируется таким образом, чтобы дать тензор ${\displaystyle H_{abcd}}$ с симметрией тензора кривизны:

${\displaystyle H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.}$

Полубесследовая часть

${\displaystyle E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd}\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)}$

получается аналогичным образом из бесследовой части тензора Риччи

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R}$

и метрического тензора ${\displaystyle g_{ab}}$.

Тензор Вейля полностью бесследовой в том смысле, что его свёртка по любой паре индексов даёт ноль. Герман Вейль показал, что этот тензор измеряет отклонение псевдориманова многообразия от конформно-плоского: в рамерностях 4 и выше, обращение его в ноль, влечёт, что многообразие локально конформно-эквивалентно плоскому многообразию.

Это разложение — чисто алгебраическое и не включает в себя никаких дифференцирований.

В случае лоренцева 4-мерного многообразия (например, пространства-времени) тензор Эйнштейна ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R}$ имеет след, равный скалярной кривизне с обратным знаком, так что бесследовые части тензора Эйнштейна и тензора Риччи совпадают

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,G.}$

Замечание о терминологии: обозначения ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd}}$ — стандартны, ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd}}$ — широко распространены, но не общеприняты, а тензоры ${\displaystyle S_{abcd}}$ и ${\displaystyle H_{abcd}}$ не имеют устоявшихся обозначений.

Разложение Риччи представляет собой разложение пространства всех тензоров с симметрией тензора кривизны на неприводимые представления ортогональной группы[1]. Пусть V — n-мерное векторное пространство с введённой на нём метрикой (возможно, смешанной сигнатуры). Если оно представляет собой касательное пространство в точке многообразия, то тензор кривизны R с ковариантными индексами представляет собой элемент тензорного произведения V⊗V⊗V⊗V, такой что он антисимметричен по паре первых и последних элементов:

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)}$

и симметричен относительно их перестановки

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),}$

для всех x,y,z,w ∈ V^∗. Тогда R принадлежит подпространству ${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$, квадратичных форм на бивекторах пространства V. Помимо этого, тензор кривизны должен также удовлетворять тождеству Бианки, обозначающему, что он принадлежит ядру линейного отображения антисимметризации ${\displaystyle b\colon S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$

${\displaystyle b\colon R(x,y,z,w)\mapsto {\tfrac {1}{3}}\cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w)].}$

Ядро ${\displaystyle \mathop {\rm {Ker}} b\subset S^{2}\Lambda ^{2}V}$ представляет собой пространство алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи представляет собой разложение этого пространства на неприводимые компоненты. Отображение свёртки Риччи

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

определяется равенством

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

Это отображение позволяет сопоставить каждому алгебраическому тензору кривизны симметрическую 2-форму. Наоборот, для любых симметрических 2-форм ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$ произведение Кулкарни — Номидзу

${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

определяет алгебраический тензор кривизны.

При ${\displaystyle n\geq 4}$ имеется (единственное) ортогональное разложение на неприводимые подпространства:

RV = SV ⊕ EV ⊕ CV,

где

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g\circ g;}$

${\displaystyle \mathbf {E} V=g\circ S_{0}^{2}V,}$ где S2
0V — пространство симметричных 2-форм с нулевым следом;

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

Компоненты S, E и C разложения Риччи данного тензора Римана R представляют собой ортогональные проекции R на инвариантные подпространства. В частности,

${\displaystyle R=S+E+C}$

и

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

Разложение Риччи выражает пространство тензоров с симметрией тензора Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление ортогональной группы, и таким образом это разложение является частным случаем разложения модуля полупростой группы Ли на неприводимые множители.

В 4-мерном случае, модуль Вейля разлагается дополнительно в пару неприводимых множителей по специальной ортогональной группе: самодуальную и антисамодуальную части W⁺ и W⁻.

Разложение Риччи имеет физическое значение в рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации, где оно называется иногда разложением Гехеняу — Дебевера (Géhéniau-Debever). В этой теории уравнения Эйнштейна

${\displaystyle G^{ab}=8\pi \,T^{ab},}$

где ${\displaystyle T^{ab}}$ — тензор энергии-импульса, который содержит плотности и потоки энергии и импульса всей негравитационной материи, утверждают, что тензор Ричи (или, эквивалентно, тензор Эйнштейна) описывают ту часть гравитационного поля, которая непосредственно порождается негравитационными энергией и импульсом. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая распространяется даже через области пространства, не содержащие материи или полей негравитационной природы — например, в виде гравитационных волн или приливных сил[2]. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обнуляется, не содержат гравитационных волн и являются конформно плоскими, что влечёт за собой, например, отсутствие гравитационного отклонения света в таких областях.

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, с. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8.

• Hawking, S. W.; and Ellis, G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time (неопр.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-09906-4. See section 2.6 for the decomposition. This book uses opposite signature but the same Landau-Lifshitz spacelike sign convention used in the Wikipedia.

• Weinberg, Steven. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (англ.). — New York: John Wiley & Sons, 1972. — ISBN 0-471-92567-5. See section 6.7 for a discussion of the decomposition (but note different sign conventions).

• Wald, Robert M. General Relativity (неопр.). — The University of Chicago Press, 1984. — ISBN 0-226-87033-2. See section 3.2 for a discussion of the decomposition.

• Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9. Section 6.1 discusses the decomposition. Versions of the decomposition also enter into the discussion of conformal and projective geometries, in chapters 7 and 8.

• Singer, I.M. & Thorpe, J.A. (1969), The curvature of 4-dimensional Einstein spaces, Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira), Univ. Tokyo Press, с. 355–365.