Полиформа

Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд[5].

20 «свободных» тетраронов — трёхмерных полиформ, образованных соединением 4 ромбододекаэдров[1][2]. Количество «односторонних» тетраронов равно 28, так как 8 из 20 «свободных» тетраронов не могут быть совмещены со своими зеркальными копиями параллельным переносом и вращением[3][4]

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски[6][7]. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером[8][9].

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7][10]

Правила соединения

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:

  • Ячейки полиформы не должны перекрываться.
  • Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
    • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
    • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].

Симметрии
Фигуры для игры Ubongo

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ[7][11]:

  • свободная (англ. free) или двусторонняя (англ. two-sided) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
  • односторонняя (англ. one-sided) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
  • фиксированная (англ. fixed) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.

Форма ячейки (моноформа) Связность фигуры Полиформа
квадрат сторона полимино (англ. polyomino)[7][11]
сторона, угол псевдополимино[7][12]
полиплет (англ. polyplet)[13]
правильный треугольник сторона полиамонд (англ. polyiamond, polyamond)[7][14]
правильный шестиугольник сторона полигекс (англ. polyhex)[7][15]
куб грань поликуб (англ. polycube)[7][16]
треугольник 45-45-90 сторона полиаболо (англ. polyabolo)[17]
треугольник 30-60-90 сторона полидрафтер (англ. polydrafter)[18]
квадрат
(в трёхмерном пространстве)		 ребро (90°, 180°) полиминоид (англ. polyominoid)
ромбододекаэдр грань полирон (англ. polyrhon)[1][2]
отрезок конец (90°, 180°) полистик (англ. polystick)[19]
5 тетрамино на квадратном паркете порядка 5[20], изображённые на диске Пуанкаре. «Евклидово» квадратное тетрамино 2×2 превращается в «гиперболическое» пятиугольное пентамино с удалённым квадратом; структура четырёх других тетрамино остаётся неизменной[21]

Полиформы на гиперболических паркетах

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны[22][21]. Так, на квадратном паркете порядка 5[20] существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино[21]. На правильном семиугольном паркете порядка 3[23] существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников[22], причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников[24].

Примечания
  1. George Sicherman. Catalogue of Polyrhons.
  2. Stewart T. Coffin. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks.
  3. Последовательность A038172 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. Последовательность A038173 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. Weisstein, Eric W. Polyform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки. — 197. — С. 111 — 113.
  7. Голомб С. В. Полимино. — 1975.
  8. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  9. Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  10. Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — С. 5,68,72,83,104,106,140,149,162,168-169. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9.
  11. Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. Miroslav Vicher. Polyforms.
  13. Weisstein, Eric W. Polyplet (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  15. Weisstein, Eric W. Polyhex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  16. Weisstein, Eric W. Polycube (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  17. Weisstein, Eric W. Polyabolo (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  18. Weisstein, Eric W. Polydrafter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  19. Weisstein, Eric W. Polystick (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  20. Квадратный паркет порядка 5 — правильный паркет на гиперболической плоскости, в каждой вершине которого сходятся пять квадратов.
  21. Последовательность A119611 в OEIS = Number of free polyominoes in (4,5) tessellation of the hyperbolic plane
  22. Holy Hyperbolic Heptagons!. Puzzle Zapper Blog.
  23. В каждой вершине семиугольного паркета порядка 3 сходятся три правильных семиугольника.
  24. George Sicherman. Catalogue of Polyhepts.

Литература
  • Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.

Ссылки


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.