Тетрамино

Тетрамино́ — геометрические фигуры, состоящие из четырёх квадратов, соединённых сторонами (от греч. τετρα- — четыре), то есть так, что квадраты можно обойти за конечное число ходов шахматной ладьи. Тетрамино являются подмножеством полимино[1][2].

7 односторонних тетрамино

Тетрамино наиболее известны как «падающие фигуры» в компьютерной игре «Тетрис», в которой используется семь односторонних фигур (см. рисунок; фигуры, переходящие друг в друга при поворотах, считаются одинаковыми, а при зеркальном отражении — различными). Связано это с тем, что в «Тетрисе» нельзя переворачивать фигуры зеркально, а только поворачивать.

Число тетрамино
5 двусторонних тетрамино

Если рассматривать «свободные» (двусторонние) тетрамино, то есть не различать зеркальные отражения фигур, то различных форм тетрамино существует пять (J- и L-образные, а также S- и Z-образные тетрамино можно получить друг из друга, перевернув их).

Если рассматривать «фиксированные» тетрамино, то есть считать различными также и повороты фигур на 90°, 180° и 270°, то:

  • L-тетрамино (оно же J) асимметрично и может быть ориентировано 8 способами — 4 поворота и 2 зеркальных отражения.
  • Z-тетрамино (оно же S) совпадает с собой при повороте на 180° и может быть ориентировано 4 способами — 2 поворота и 2 зеркальных отражения.
  • T-тетрамино имеет осевую симметрию и может быть ориентировано 4 способами — поворотами.
  • I-тетрамино имеет две оси симметрии и может быть ориентировано 2 способами — поворотами.
  • О-тетрамино совпадает с собой при зеркальном отражении и при любых поворотах на углы, кратные 90°, и может быть ориентировано единственным образом.

Отсюда число «фиксированных» тетрамино (также известных как трансляционные типы тетрамино[3]) равно 8 + 4 + 4 + 2 + 1 = 19.

Тетрамино — наибольший по количеству клеток вид полимино, такой, что типы симметрии всех свободных фигур различны.

Составление фигур из тетрамино
Укладка двух конгруэнтных прямоугольников 4×11 из 22 двусторонних псевдотетрамино. Укладка удовлетворяет дополнительному требованию: пять «обычных» тетрамино не касаются друг друга. Другое решение приводится в книге Соломона Голомба «Полимино»[1]

С полимино связано множество задач на составление из них разных фигур. Одна из задач состоит в укладке всех полимино заданного типа в прямоугольник. В отличие от пентамино, из пяти «свободных» тетрамино нельзя сложить ни прямоугольник 4×5, ни прямоугольник 2×10. Доказательство в обоих случаях одно и то же и использует раскраску в шахматном порядке. Все свободные тетрамино, кроме Т-образного, содержат по 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура, сложенная из всех пяти тетрамино, будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник с чётным количеством клеток содержит равное число чёрных и белых клеток. Следовательно, из пяти тетрамино нельзя сложить прямоугольник. ■

Точно так же из семи односторонних тетрамино нельзя сложить ни прямоугольник 4×7, ни прямоугольник 2×14. Доказательство проводится тем же способом[1].

Псевдотетрамино

Существует 22 двусторонних псевдотетрамино — фигур из четырёх квадратов бесконечной шахматной доски, соединённых сторонами или углами. Общая занимаемая ими площадь равна 88 клеткам. В отличие от 5 двусторонних (свободных) или 7 односторонних тетрамино, из 22 псевдотетрамино можно сложить прямоугольник 4×22 или 8×11[1].

См. также

Примечания
  1. Голомб С. В. Полимино, 1975
  2. Weisstein, Eric W. Tetromino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. The Mathematical Gardner / edited by David A. Klarner. — Springer Science & Business Media, 2012. — P. 245. — 382 p. — ISBN 1-468-46686-0, 9781468466867.

Литература
  • Голомб С. В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.