Полимино

Полимино, или полиомино (англ. polyomino) — плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких одноклеточных квадратов по их сторонам. Это полиформы, сегменты которых являются квадратами[1].

Укладка 12 пентамино на шахматной доске 8×8 с вырезанным центральным квадратом 2×2
Полный набор 35 (двусторонних) гексамино. Если запретить переворачивать фигуры гексамино, полный набор будет состоять из 60 «односторонних» гексамино[1][2].

Фигуру полимино можно рассматривать как конечное связное подмножество бесконечной шахматной доски, которое может обойти ладья[1][3].

Названия полимино

Полимино (n-мино) носят названия по числу n квадратов, из которых они состоят:

nНазваниеnНазвание
1мономино6гексамино
2домино7гептамино
3тримино8октамино
4тетрамино9нонамино или эннеомино
5пентамино10декамино

История

Полимино использовались в занимательной математике по крайней мере с 1907 года[4][5], а известны были ещё в древности. Многие результаты с фигурами, содержащими от 1 до 6 квадратов, были впервые опубликованы в журнале «Fairy Chess Review» в период с 1937 по 1957 г., под названием «проблемы рассечения» (англ. «dissection problems»). Название «полимино» или «полиомино» (англ. polyomino) было придумано Соломоном Голомбом[1] в 1953 году и затем популяризировано Мартином Гарднером[6][7].

В 1967 году журнал «Наука и жизнь» опубликовал серию статей о пентамино. В дальнейшем в течение ряда лет публиковались задачи, связанные с полимино и другими полиформами[8].

Обобщения полимино

Укладка всех 94 двусторонних псевдопентамино

В зависимости от того, разрешается ли переворачивание или вращение фигур, различаются следующие три вида полимино[1][2]:

  • двусторонние полимино, или свободные полимино (англ. free polyominoes) — полимино, которые разрешается поворачивать и переворачивать;
  • односторонние полимино (англ. one-sided polyominoes) — полимино, которые разрешается поворачивать в плоскости, но не разрешается переворачивать;
  • фиксированные полимино (англ. fixed polyominoes) — полимино, которые не разрешается ни поворачивать, ни переворачивать.

В зависимости от условий связности соседних ячеек различаются[1][9][10]:

  • полимино — наборы квадратов, которые может обойти визирь[3];
  • псевдополимино, или полиплеты — наборы квадратов, которые может обойти король;
  • квазиполимино — произвольные наборы квадратов бесконечной шахматной доски.

В следующей таблице собраны данные о числе фигур полимино и его обобщений. Число квази-n-мино равно 1 при n = 1 и ∞ при n > 1.

nполиминопсевдополимино
двусторонниеодносторонниефиксированныедвусторонниеодносторонниефиксированные
всес отверстиямибез отверстий
A000105A001419A000104A000988A001168A030222A030233A006770
110111111
210112224
3202265620
45057192234110
512012186394166638
635035602165249913832
710811071967603031593123 592
83696363704272518 77037 196147 941
9128537124825009910118 133235 456940 982
1046551954460918936 446758 3811 514 6186 053 180
1117 07397916 09433 896135 2684 915 6529 826 17739 299 408
1263 6004 66358 937126 759505 86132 149 29664 284 947257 105 146

Полиформы

Полиформы — обобщение полимино, ячейками которого могут быть любые одинаковые многоугольники или многогранники. Иначе говоря, полиформа — плоская фигура или пространственное тело, состоящая из нескольких соединённых копий заданной основной формы[11].

Плоские (двумерные) полиформы включают в себя полиамонды, сформированные из равносторонних треугольников; полигексы, сформированные из правильных шестиугольников; полиаболо, состоящие из равнобедренных прямоугольных треугольников, и другие.

Примеры пространственных (трёхмерных) полиформ: поликубы, состоящие из трёхмерных кубов; полироны (англ. polyrhons), состоящие из ромбододекаэдров[12].

Полиформы также обобщаются на случай более высоких размерностей (например, сформированные из гиперкубов — полигиперкубы).

Задачи

Покрытия прямоугольников конгруэнтными полимино

L-полимино, являющиеся полимино порядка 2

Порядок полимино P — минимальное число конгруэнтных копий P, достаточное для того, чтобы сложить некоторый прямоугольник. Для полимино, из копий которых нельзя сложить ни одного прямоугольника, порядок не определён. Порядок полимино P равен 1 тогда и только тогда, когда P — прямоугольник[13].

Если существует хотя бы один прямоугольник, который можно покрыть нечётным числом конгруэнтных копий P, полимино P называется нечётным полимино; если же прямоугольник можно сложить только из чётного числа копий P, P называется чётным полимино.

Обнаруженное Кларнером гексамино порядка 2, допускающее покрытие прямоугольника с нечётной кратностью 11.

Эта терминология была введена в 1968 году Д. А. Кларнером[1][14].

Существует множество полимино порядка 2; примером являются так называемые L-полимино[15].

Нерешённые проблемы математики: Существует ли полимино, порядок которого — нечётное число?

Полимино порядка 3 не существует; доказательство этого было опубликовано в 1992 году[16]. Любое полимино, из трёх копий которого можно составить прямоугольник, само является прямоугольником и имеет порядок 1. Неизвестно, существует ли полимино, порядок которого — нечётное число, большее 3[14].

Существуют полимино порядка 4, 10, 18, 24, 28, 50, 76, 92, 312; существует конструкция, позволяющая получить полимино порядка 4s для любого натурального s[14].

Нерешённые проблемы математики: Какова наименьшая возможная нечётная кратность покрытия прямоугольника непрямоугольным полимино?

Кларнеру удалось найти непрямоугольное полимино порядка 2, из 11 копий которого можно составить прямоугольник[1][14][17], причём никакое ме́ньшее нечётное число копий этого полимино не может покрыть прямоугольник. На октябрь 2015 года неизвестно, существует ли непрямоугольное полимино, из 9, 7 или 5 копий которого можно составить прямоугольник; неизвестны также какие-либо другие примеры полимино с минимальной нечётной кратностью покрытия 11 (кроме найденного Кларнером).

Минимальные области

Минимальная область (англ. minimal region, minimal common superform) для заданного набора полимино — полимино наименьшей возможной площади, содержащее каждое полимино из данного набора[1][14][18]. Задача нахождения минимальной области для набора двенадцати пентамино была впервые поставлена Т. Р. Доусоном в журнале Fairy Chess Review в 1942 году[18].

Для набора 12 пентамино существуют две минимальные девятиклеточные области, представляющие собой 2 из 1285 нонамино[1][14][18]:

  ###     ###
#####    #####
  #       #

См. также

Примечания

  1. Голомб С. В. Полимино, 1975
  2. Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Популярное определение полимино с помощью шахматной ладьи не является строгим: существуют несвязные подмножества квадратного паркетажа, которые может обойти ладья (например, группа из четырёх полей шахматной доски a1, a8, h1, h8 не является тетрамино, хотя ладья, стоящая на одном из этих полей, может за три хода обойти три других поля). Более строгим было бы определение полимино с помощью фигуры «визирь», используемой в шахматах Тамерлана: визирь ходит лишь на одну клетку по горизонтали или вертикали.
  4. Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки, 1975, стр. 111–113
  5. Alexandre Owen Muñiz. Some Nice Pentomino Coloring Problems.
  6. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  7. Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  8. Наука и жизнь №№ 2—12 (1967), 1, 6, 9, 11 (1968) и др.
  9. Polyforms
  10. Weisstein, Eric W. Polyplet (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  11. Weisstein, Eric W. Polyform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. Col. Sicherman’s Home Page. Polyform Curiosities. Catalogue of Polyrhons
  13. Karl Dahlke. Tiling Rectangles With Polyominoes.
  14. Голомб С. В. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-08573-0.
  15. Weisstein, Eric W. L-Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  16. I. N. Stewart, A. Wormstein. Polyominoes of Order 3 Do Not Exist (англ.) // Journal of Combinatorial Theory, Series A : journal. — 1992. — September (vol. 61, no. 1). P. 130—136.
  17. Michael Reid. Primes of the P hexomino.
  18. Alexandre Owen Muñiz. Polyomino Common Superforms.

Литература

  • Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. М.: Мир, 1975. — 207 с.
  • Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки = The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems / Пер. с англ. Ю.Н.Сударева. М.: Мир, 1979. — 353 с.
  • Гарднер М. Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М.: Мир, 1971. — 511 с.
  • Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю.А.Данилова. Под ред. Я.А.Смородинского. М.: Мир, 1974. — 456 с.

Ссылки


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.