Полимино

Полиформы — обобщение полимино, ячейками которого могут быть любые одинаковые многоугольники или многогранники. Иначе говоря, полиформа — плоская фигура или пространственное тело, состоящая из нескольких соединённых копий заданной основной формы[11].

Плоские (двумерные) полиформы включают в себя полиамонды, сформированные из равносторонних треугольников; полигексы, сформированные из правильных шестиугольников; полиаболо, состоящие из равнобедренных прямоугольных треугольников, и другие.

Примеры пространственных (трёхмерных) полиформ: поликубы, состоящие из трёхмерных кубов; полироны (англ. polyrhons), состоящие из ромбододекаэдров[12].

Полиформы также обобщаются на случай более высоких размерностей (например, сформированные из гиперкубов — полигиперкубы).

L-полимино, являющиеся полимино порядка 2

Порядок полимино P — минимальное число конгруэнтных копий P, достаточное для того, чтобы сложить некоторый прямоугольник. Для полимино, из копий которых нельзя сложить ни одного прямоугольника, порядок не определён. Порядок полимино P равен 1 тогда и только тогда, когда P — прямоугольник[13].

Если существует хотя бы один прямоугольник, который можно покрыть нечётным числом конгруэнтных копий P, полимино P называется нечётным полимино; если же прямоугольник можно сложить только из чётного числа копий P, P называется чётным полимино.

Обнаруженное Кларнером гексамино порядка 2, допускающее покрытие прямоугольника с нечётной кратностью 11.

Эта терминология была введена в 1968 году Д. А. Кларнером[1][14].

Существует множество полимино порядка 2; примером являются так называемые L-полимино[15].

Нерешённые проблемы математики: Существует ли полимино, порядок которого — нечётное число?

Полимино порядка 3 не существует; доказательство этого было опубликовано в 1992 году[16]. Любое полимино, из трёх копий которого можно составить прямоугольник, само является прямоугольником и имеет порядок 1. Неизвестно, существует ли полимино, порядок которого — нечётное число, большее 3[14].

Существуют полимино порядка 4, 10, 18, 24, 28, 50, 76, 92, 312; существует конструкция, позволяющая получить полимино порядка 4s для любого натурального s[14].

Нерешённые проблемы математики: Какова наименьшая возможная нечётная кратность покрытия прямоугольника непрямоугольным полимино?

Кларнеру удалось найти непрямоугольное полимино порядка 2, из 11 копий которого можно составить прямоугольник[1][14][17], причём никакое ме́ньшее нечётное число копий этого полимино не может покрыть прямоугольник. На октябрь 2015 года неизвестно, существует ли непрямоугольное полимино, из 9, 7 или 5 копий которого можно составить прямоугольник; неизвестны также какие-либо другие примеры полимино с минимальной нечётной кратностью покрытия 11 (кроме найденного Кларнером).

Минимальная область (англ. minimal region, minimal common superform) для заданного набора полимино — полимино наименьшей возможной площади, содержащее каждое полимино из данного набора[1][14][18]. Задача нахождения минимальной области для набора двенадцати пентамино была впервые поставлена Т. Р. Доусоном в журнале Fairy Chess Review в 1942 году[18].

Для набора 12 пентамино существуют две минимальные девятиклеточные области, представляющие собой 2 из 1285 нонамино[1][14][18]:

  ###     ###
#####    #####
  #       #