Троичная логика

Трои́чная ло́гика (трёхзначная логика или тернарная логика) — один из видов многозначной логики, предложенный Яном Лукасевичем в 1920 году. Трёхзначная логика — исторически первая многозначная логика. Она является простейшим расширением двузначной логики.

Чёткую математическую троичную логику, в которой имеется три чётких значения (0,1,2), (-1,0,+1), (0,1/2,1) и т. п. часто путают с нечёткой троичной логикой, которая является частным случаем нечёткой логики c тремя значениями, одно, два или все три из которых нечёткие.

Перечень значений нечёткой трёхзначной логики с двумя чёткими и с одним нечётким значением помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое нечётко и трактуется как «не определено» или «неизвестно».

Примерами значений нечёткой трёхзначной логики с одним чётким и с двумя нечёткими значениями являются: («меньше», «равно», «больше»), («уклон влево», «прямо», «уклон вправо») и другие.

Примерами значений нечёткой трёхзначной логики с тремя нечёткими значениями, к которым сводится очень большое количество практических народнохозяйственных задач, являются: («меньше», «равно, в допустимых пределах», «больше»), («уклон влево», «прямо, в допустимых пределах», «уклон вправо»), («холодно», «прохладно», «жарко») и другие.

Алгебраические свойства

Троичная логика, в отличие от двоичной, не булево кольцо и обладает собственным математическим аппаратом. Он состоит из системы аксиом, которые определяют над множеством {«1», «0», «1»} одноместные и двухместные операции, а также выводимые из них свойства.

Для конъюнкции и дизъюнкции в тройной логике сохраняются коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный) и дистрибутивный (распределительный) законы.

Несколько свойств образуются благодаря особенности отрицания Лукасевича:

Однако из-за наличия третьего состояния некоторые законы двоичной логики оказываются неверными, для них сформулированы троичные аналоги. Так, вместо закона противоречия стали применять закон несовместности состояний, вместо закона исключённого третьего — закон полноты состояний (закон исключённого четвёртого), вместо неверного закона Блейка—Порецкого применяют трёхчленный закон Блейка—Порецкого.

Физическая реализация

При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы, в общем случае не обязательно электронные.

Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП-технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная.

На основе троичных элементов — троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова — в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь», выпущена в 46 экземплярах.

Логики

Логики Клини и Приста

Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox, LP) Грэма Приста. Обе логики имеют три логических значения — «ложь», «неопределённость» (в логике Приста – «парадокс») и «истина», которые в логике Клини обозначаются буквами F (false), U (unknown), T (true), а в логике Приста числами -1, 0 и 1 [1].

F: false, U: unknown, T: true
NOT(A)
A ¬ A
F T
U U
T F
AND(A, B)
A ∧ B B
F U T
A F FFF
U FUU
T FUT
OR(A, B)
A ∨ B B
F U T
A F FUT
U UUT
T TTT
−1: false, 0: «paradoxical», +1: true
NEG(A)
A ¬ A
−1 +1
0 0
+1 −1
MIN(A, B)
A ∧ B B
−1 0 +1
A −1 −1−1−1
0 −100
+1 −10+1
MAX(A, B)
A ∨ B B
−1 0 +1
A −1 −10+1
0 00+1
+1 +1+1+1

Значение U в логике Клини присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции oper выполняется соотношение
oper(F,F)=oper(F,T), то oper(F,U)=oper(F,F)=oper(F,T);
аналогично, если
oper(T,F)=oper(T,T), то oper(T,U)=oper(T,F)=oper(T,T).

В отличие от логики Клини, в логике Приста значение 0 определено и считается одновременно и истинным, и ложным (парадоксальным). Разница заключается в определении тавтологий. Тогда как в логике Клини только одно выделенное истинностное значение – это T, в логике Приста оба значения – 1 и 0 – являются выделенными.

При численном обозначении логических значений (–1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:

Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:

.

Таблицы истинности для неё

IMPK(A, B), OR(¬A, B)
A → B B
T U F
A T TUF
U TUU
F TTT
IMPK(A, B), MAX(−A, B)
A → B B
+1 0 −1
A +1 +10−1
0 +100
−1 +1+1+1

Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.

Функциональный подход

Назовём функцию функцией трёхзначной логики, если все её переменные принимают значения из множества {0,1,2} и сама функция принимает значения из этого же множества. Примеры функций: max(x,y), min(x,y), x+1 (mod 3). Обозначим множество всех функций трёхзначной логики. Под операцией над функциями будем понимать суперпозицию. Класс функций K из назовём замкнутым, если любая суперпозиция функций из K принадлежит K. Система функций класса K называется полной, если любая функция из K может быть представлена суперпозицией функций этой системы. Полная система называется базисом, если никакая функция из этой системы не может быть представлена суперпозицией остальных функций этой системы. Доказано, что в существует конечный базис (в частности, состоящий из одной функции). Замкнутый класс K называется предполным, если он не совпадает с , но добавление любой функции, ему не принадлежащей, порождает . С.В. Яблонским доказано[2], что в существует 18 предполных классов. Также доказано, что все они имеют конечные базисы, в частности, состоящие из функций, зависящих не более чем от двух переменных[3]. Ю.И.Янов и А.А.Мучник доказали[4], что в существуют классы функций, не имеющие базиса, и классы функций, имеющие бесконечный базис. Отсюда следует, что множество замкнутых классов в имеет мощность континуума. Этим трёхзначная (и любая многозначная) логика существенно отличается от двухзначной, где, как доказано Постом[5], все замкнутые классы имеют конечный базис и множество замкнутых классов счётно.

Использование в базах данных

В некоторых системах управления базами данных используется специальное значение UNKNOWN, которое может быть результатом логической операции, наряду со значениями TRUE и FALSE.

Смысл значения UNKNOWN — «неизвестность», то есть неопределённый результат операции. Значение UNKNOWN может использоваться тогда, когда в применяемой системе разработки программного обеспечения используется специальное значение NULL. Значение UNKNOWN возвращает операцию сравнения, если один или оба из её операндов равны NULL, а также некоторые логические операции, если одним из их операндов является значение UNKNOWN. Условными операторами языков программирования значение UNKNOWN обрабатывается аналогично FALSE, то есть конструкция вида:

 if UNKNOWN then a := 1 else a := 2

приведёт к присваиванию переменной a значения 2.

Правила операций с UNKNOWN
  • Любая операция сравнения любого значения с NULL или UNKNOWN даёт в результате UNKNOWN.
  • not UNKNOWN = UNKNOWN
  • TRUE and UNKNOWN = UNKNOWN
  • FALSE and UNKNOWN = FALSE
  • TRUE or UNKNOWN = TRUE
  • FALSE or UNKNOWN = UNKNOWN
  • TRUE xor UNKNOWN = UNKNOWN
  • FALSE xor UNKNOWN = UNKNOWN

См. также

Примечания
  1. В оригинальной публикации 1979 года – буквами f, p и t соответственно.
  2. Яблонский С.И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 51, 1958
  3. Гниденко В.М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
  4. Янов Ю.И., Мучник А.А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, №1, 1959
  5. Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, №1, 1941

Литература
  • D. C. Rine (ed.), Computer Science and Multiple-Valued Logic. Theory and Applications. Elsevier, 1977, 548p. ISBN 9780720404067
  • Васильев Н. И. Воображаемая логика. — М.: Наука, 1989.
  • Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. — М.: Наука, 1997.
  • Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
  • Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Иностранная литература, 1959.
  • Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976.
  • Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967.
  • Гетманова А. Д. Учебник по логике. — М.: Владос, 1995. — С. 259—268. — 303 с. — ISBN 5-87065-009-7.
  • Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. — М.: Машиностроение, 1990. — 560 с. — ISBN 5-217-00617-X.
  • Яблонский С.И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 51, 1958
  • Янов Ю.И., Мучник А.А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, №1, 1959
  • Гниденко В.М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
  • Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, №1, 1941
  • Гектор Гарсиа-Молина, Джеффри Д. Ульман, Дженнифер Уидом «Системы баз данных. Полный курс»

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.