Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в ${\displaystyle 6N}$-мерном фазовом пространстве (${\displaystyle N}$ — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами ${\displaystyle q_{i}}$ и сопряжёнными импульсами ${\displaystyle p_{i}}$, где ${\displaystyle i=1,\dots ,d,}$ ${\displaystyle d=3N}$. Тогда распределение в фазовом пространстве ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i})}$ определяет вероятность ${\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$ того, что система будет находиться в элементе объёма ${\displaystyle \mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$ своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i};t)}$ во времени ${\displaystyle t}$ согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.}$

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.}$

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция ${\displaystyle \rho }$ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

${\displaystyle \nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)}$

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

${\displaystyle \rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,}$

где ${\displaystyle H}$ — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности ${\displaystyle d\rho /dt}$ равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей ${\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}$ в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — ${\displaystyle p_{i}}$ — но сжимается по другой координате ${\displaystyle q_{i}}$ так, что произведение ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i}}$ остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём ${\displaystyle \Gamma }$ сохраняется при сдвигах времени. Если

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,}$

и ${\displaystyle \Gamma (t)}$ — множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество ${\displaystyle \Gamma }$ в момент времени ${\displaystyle t}$, тогда

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C}$

для всех времён ${\displaystyle t}$. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Пусть ${\displaystyle (M,\omega )}$ — симплектическое многообразие и ${\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }$ — гладкая функция. Пусть ${\displaystyle V}$ есть симплектический градиент ${\displaystyle H}$, то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

${\displaystyle dH(X)=\omega (V,X)}$

для любого векторного поля ${\displaystyle X}$. Тогда

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\omega =0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,}$

а если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle 2n}$-мерно, то ${\displaystyle \omega ^{\wedge n}}$ является формой объёма на ${\displaystyle M}$.

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

${\displaystyle N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)}$

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил ${\displaystyle \mathbf {F} }$ с координатами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и импульсами ${\displaystyle \mathbf {p} }$, теорему Лиувилля можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}}$ — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

В классической статистической механике число частиц ${\displaystyle N}$ велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае ${\displaystyle \partial \rho /\partial t=0}$ можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения ${\displaystyle \rho }$ равна любой функции гамильтониана ${\displaystyle H}$, например, в распределении Максвелла-Больцмана ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT}}$, где ${\displaystyle T}$ — температура, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана.

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$ вид

${\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),}$

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\rho ,H\}.}$

При помощи оператора Лиувилля

${\displaystyle i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]}$

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.}$

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}$

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0,}$ 

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}$ 

уравнение для эволюции во времени плотности ${\displaystyle \rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}$ распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

${\displaystyle \rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d\Lambda ,}$ 

${\displaystyle t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\,dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]}$ 

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0}$

(см. также Уравнение Фоккера — Планка) и в случае  ${\displaystyle Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\ P_{i}=-\partial H/\partial q_{i}}$ совпадает с уравнением Лиувилля.

• Интеграл Пуанкаре — Картана