Функция распределения (статистическая физика)

Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i}}$, с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)}$

Функцию ${\displaystyle \rho \!\left(t,q,p\right)}$ называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция ${\displaystyle \rho \!\left(t,q,p\right)}$ удовлетворяет условию нормировки:

${\displaystyle \int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)}$

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными ${\displaystyle {q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}}$ и ${\displaystyle {p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}}$, и тогда

${\displaystyle \rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(q-q^{(0)}\right)\,\delta \!\left(p-p^{(0)}\right),}$

где ${\displaystyle \delta \!\left(q-q^{(0)}\right)\delta \!\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \!\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right)}$ (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция ${\displaystyle \rho \!\left(t,q,p\right)}$ позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины ${\displaystyle F\!\left(t,q,p\right)}$ — функции фазовых переменных q и p:

${\displaystyle \left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int {{\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p},}$

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

${\displaystyle \rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)}$

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций ${\displaystyle \rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)}$ можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция ${\displaystyle \rho }$. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения ${\displaystyle \rho \!\left(t,q,p\right)}$ равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ ${\displaystyle N_{A}}$, где ${\displaystyle N_{A}}$ — число Авогадро).

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин ${\displaystyle {\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}}$. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей ${\displaystyle \rho \!\left(A\right)}$ значений ${\displaystyle A}$ дается равенством

${\displaystyle \rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\rho \!\left(q,p\right)},}$

где ${\displaystyle \delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A}}_{m}\right)}$. Функция распределения ${\displaystyle \rho \!\left(A\right)}$ может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин ${\displaystyle {\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)}$ , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через ${\displaystyle {\hat {A}}}$ . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

${\displaystyle \left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A\right)},}$

где ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m}}$ и интегрирование ведется по всем возможным значениям ${\displaystyle A}$. Конечно, средние значения ${\displaystyle \left\langle {\hat {f}}\right\rangle }$ величин ${\displaystyle {\hat {f}}}$ можно было бы найти с помощью полной функции распределения ${\displaystyle \rho \!\left(t,q,p\right)}$, если бы она была известна. Для функции ${\displaystyle \rho \!\left(A\right)}$ так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

${\displaystyle \int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1}$

Описание системы с помощью функции ${\displaystyle \rho \!\left(A\right)}$ называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\rho }}\!\left(t\right)}{\partial t}}+i\,L_{t}\,{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=0,\qquad (4)}$

где ${\displaystyle L_{t}}$ — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

${\displaystyle L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\{{\hat {H}}_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\left({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)}$,

${\displaystyle {\hat {H}}_{t}}$ — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (${\displaystyle L_{t}=L}$), решение уравнения (4) имеет вид

${\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)}$

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)}}$ и собственные значения ${\displaystyle L^{(n)}}$ оператора ${\displaystyle L}$.

Пользуясь полнотой и ортонормированностью ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)}}$, напишем:

${\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)}}$,

где ${\displaystyle c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)}$ (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

${\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}}c_{n}\,{\hat {\psi }}^{(n)}}$

• Частичная функция распределения

• Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
• Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва–Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. - 192с. (2-ое изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. - 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
• Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978.
• Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 432с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
• Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. - 312 с. ISBN 5-354-01004-7
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. - 128с. ISBN 5-93972-273-3
• Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. - 368с.
• Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
• Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.]
• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.