Многочлены Гегенбауэра

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию[2]:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.}$

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене ${\displaystyle z\to -z}$, ${\displaystyle t\to -t}$, то

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),}$

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha }}$ и ${\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha }}$ соответственно:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)!}}}$   (для чётных n),       ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)=0}$   (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

${\displaystyle (\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )}}}$.

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с ${\displaystyle n\geq 2}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n}}[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].}$

В частности[3],

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z)&=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}}}$

и так далее.

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра[4]

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha +1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.}$

При ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right).}$

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби ${\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)}$ c ${\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}}}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).}$

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z).}$

Они могут быть выражены через формулу Родрига

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Для данного ${\displaystyle \alpha }$ многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$, то есть (для n ≠ m)[5],

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.}$

Они нормализованы как[5]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Если ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — действительные переменные (и ${\displaystyle \alpha }$ тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:

${\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}$

${\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}$

• Ортогональные многочлены
• Многочлены Чебышёва
• Многочлены Лежандра
• Многочлены Якоби

• Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7.
• Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп / Гл. ред. физ.-мат. лит. — 2-е изд., исправ. — М.: Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. Chapter 22

• Gegenbauer Function, functions.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial, MathWorld — mathworld.wolfram.com