Многочлены Лежандра

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0,}$

(1)

где ${\displaystyle z}$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых ${\displaystyle n}$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени ${\displaystyle n}$ можно представить через формулу Родрига в виде[1]

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.}$

Часто вместо ${\displaystyle z}$ записывают косинус полярного угла:

${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.}$

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,}$

(2)

где ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при ${\displaystyle |z|<1}$ (в частности, при действительных ${\displaystyle z}$) или когда действительная часть числа ${\displaystyle z}$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида ${\displaystyle w=(z^{2}-1)^{\mu /2}}$ в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области ${\displaystyle |1-z|<2}$ принимает вид

${\displaystyle w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu$ ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),}

где ${\displaystyle F}$ — гипергеометрическая функция. Подстановка ${\displaystyle w=z^{2}}$ в (2) приводит к решению вида

${\displaystyle w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),}$

определённым на ${\displaystyle |z|>1}$. Функции ${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)}$ и ${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)}$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)}$

и

${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).}$

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.}$

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при ${\displaystyle n\geqslant 1}$)[4]:

${\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),}$

(3)

причём первые две функции имеют вид

${\displaystyle P_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x.}$

Вычисляется по формуле[5]

${\displaystyle P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].}$

(4)

Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},}$

причём начальное приближение для ${\displaystyle i}$-го корня (${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$) берётся по формуле[5]

${\displaystyle x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.}$

Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}}$   для   ${\displaystyle |t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,}$

${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}}$   для   ${\displaystyle |t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.}$

Следовательно,

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].}$

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),}$

которую также можно представить в виде

${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).}$

При ${\displaystyle m=0}$ функция ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ совпадает с ${\displaystyle P_{n}}$.

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6]:

${\displaystyle SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),}$

${\displaystyle SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).}$

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}$, где сдвигающая функция ${\displaystyle x\mapsto 2x-1}$ (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов ${\displaystyle [-1,\;1]}$ на интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$, в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$:

${\displaystyle \int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.}$

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.}$

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].}$

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$

Липшицевая функция ${\displaystyle f}$ является функцией со свойством

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|}$, где ${\displaystyle L>0}$.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть ${\displaystyle \varepsilon (I)}$ — пространство непрерывных отображений на отрезке ${\displaystyle I=[-1,\;1]}$, ${\displaystyle f\in \varepsilon (I)}$, и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Пусть

${\displaystyle c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,}$

тогда ${\displaystyle c_{n}(f)}$ удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.}$

Пусть ${\displaystyle S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}}$ и ${\displaystyle S_{n}f}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. ${\displaystyle \forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,dy}$, где ${\displaystyle K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n+1}(y)P_{n}(x)}{x-y}};}$
2. ${\displaystyle S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y)-f(x){\big )}\,dy;}$
3. ${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).}$

Липшицеву функцию ${\displaystyle f}$ можно записать следующим образом:

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.}$

Всякая функция ${\displaystyle f}$, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).}$

Для величин, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi }$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \varphi }$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[7]

${\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,}$

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

${\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi .}$

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[8]

${\displaystyle Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi }$

при условиях ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi /2}$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \varphi }$.