Многочлены Цернике

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях ${\displaystyle \rho }$ суть целые числа:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(n-m)/2}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$.

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти многочлены являются частным случаем многочленов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {n-m}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {n-m}{2}};1+{\tfrac {n+m}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

для четных значений n − m.

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.}$

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

где параметр ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ (его иногда называют множителем Неймана) полагают равным 2, если ${\displaystyle m=0}$, и равным 1, если ${\displaystyle m\neq 0}$. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

${\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\varepsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},}$

где ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$ — якобиан полярной системы координат, а оба числа ${\displaystyle n-m}$ и ${\displaystyle n'-m'}$ — четные.

Ниже представлены несколько первых радиальных многочленов.

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho }$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho }$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho }$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.}$