Весовая функция

Дискретная весовая функция ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+}}$ — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений ${\displaystyle A}$, которое обычно конечно или счётно. Весовая функция ${\displaystyle w(a):=1}$ соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция ${\displaystyle f:A\to {\mathbb {R} }}$ определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle A}$ определяется как

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)}$;

в отличие от взвешенной суммы ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+}}$, определяемой как

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a)}$.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

в виде взвешенного среднего арифметического

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда [1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия ${\displaystyle J}$ частные показатели качества ${\displaystyle x_{i}}$ нормируются (диапазон изменения ${\displaystyle [\min {x_{i}},\max {x_{i}}]}$ каждого из них приводится к отрезку ${\displaystyle [0,1]}$): ${\displaystyle x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}}$, а интегральный критерий рассчитывается как ${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}}$, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения ${\displaystyle f}$, измеренного как ${\displaystyle f_{i}}$ несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i}}$. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями ${\displaystyle w_{i}}$.

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется ${\displaystyle n}$ объектов с весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$.

Если ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

может быть дополнен взвешенным интегралом

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Если E — подмножество ${\displaystyle \Omega }$, то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx}$.

Если ${\displaystyle \Omega }$ имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

на взвешенное среднее

${\displaystyle {\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}}$

Если ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ и ${\displaystyle g:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}

можно ввести взвешенное скалярное произведение

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx}

(См. также ортогональность)