Математический софизм

Софизм. Пусть ${\displaystyle a,b}$ — произвольные числа. Обозначим их разность буквой ${\displaystyle c,}$ то есть ${\displaystyle a-b=c.}$ Умножим это равенство на ${\displaystyle a-b\colon \quad (a-b)^{2}=c(a-b).}$ Раскроем скобки: ${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.}$ Далее сгруппируем одночлены следующим образом: ${\displaystyle a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,}$ или:

${\displaystyle a(a-b-c)=b(a-b-c).}$

Сократив на ${\displaystyle a-b-c,}$ получаем: ${\displaystyle a=b,}$ то есть все числа равны.

• Причина ошибки: поскольку ${\displaystyle a-b=c,}$ мы не имеем права сокращать на ${\displaystyle a-b-c,}$ потому что это выражение равно нулю, а сокращать (то есть делить) на ноль нельзя[8].

Деление на ноль — одна из самых частых алгебраических ошибок, причём это деление может быть замаскировано, например, под сокращение общего множителя. Например, сокращая уравнение ${\displaystyle 9x^{2}=x}$ на ${\displaystyle x,}$ мы теряем корень ${\displaystyle x=0.}$ Другой софизм — уравнение:

${\displaystyle {\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.}$

Сокращая на ${\displaystyle {\sqrt {x-5}},}$ мы не только теряем единственный корень уравнения ${\displaystyle x=5,}$ но попутно приобретаем лишний корень ${\displaystyle x=4,}$ который не входит в область допустимых значений неизвестного, поскольку подкоренное выражение при ${\displaystyle x=4}$ становится отрицательно[9].

Софизм 1. Пусть ${\displaystyle a,b}$ — произвольные положительные числа, причём ${\displaystyle a>b.}$ Умножив это неравенство на ${\displaystyle b}$ и отняв от обеих его частей ${\displaystyle a^{2},}$ получим: ${\displaystyle ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.}$ Разложим на множители:

${\displaystyle a(b-a)>(b+a)(b-a)}$

Сократив на ${\displaystyle b-a}$ (по условию оно не равно нулю), получим неравенство: ${\displaystyle a>b+a.}$ Отнимем от обеих частей ${\displaystyle a,}$ результат: ${\displaystyle 0>b.}$ То есть любое положительное число ${\displaystyle b}$ одновременно и отрицательное.

• Причина ошибки: обе части неравенства можно сокращать на общий ненулевой множитель, но если этот множитель отрицательный, то знак неравенства должен быть изменён на противоположный. Здесь именно тот случай, так как ${\displaystyle b-a<0.}$ После сокращение получим: ${\displaystyle a<b+a,}$ ошибка устранена[10].

Софизм 1. Верное равенство: ${\displaystyle 1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}}$ можно записать в виде: ${\displaystyle \left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.}$ Извлекая квадратный корень, получаем: ${\displaystyle 1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2}},}$ откуда: ${\displaystyle 1=2.}$

• Причина ошибки: из равенства квадратов величин следует равенство самих величин только если они имеют одинаковые знаки. Правильное извлечение корня даёт результат с абсолютной величиной: ${\displaystyle \left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,}$ и тогда ошибка не возникает[11].

Софизм 2. В старших классах определяется возведение числа не только в целую, но и в дробную степень: ${\displaystyle a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$ Рассмотрим софизм, доказывающий, что ${\displaystyle -1=1}$.

${\displaystyle -1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}1}}}=1}$

• Причина ошибки: возведение в дробную степень определяется только для неотрицательных чисел[12].

Софизм 3. Следует проявлять осторожность при возведении в дробную степень значений тригонометрических функций. Кажется очевидным, что ${\displaystyle (\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,}$ однако при ${\displaystyle x=\pi }$ получаем ошибочное равенство: ${\displaystyle 1^{3/2}=-1.}$ Выше уже пояснялось, что арифметический корень из квадрата числа равен абсолютной величине числа, так что правильная запись следующая[13]: ${\displaystyle (\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.}$

Софизм 1. Решаем уравнение: ${\displaystyle 3{\sqrt {x}}+x+2=0.}$

${\displaystyle 3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0}$

${\displaystyle x_{1}=4;\quad x_{2}=1}$

Проверка: подстановка первого корня в уравнение даёт равенство ${\displaystyle 12=0,}$ подстановка второго даёт: ${\displaystyle 6=0.}$

• Причина ошибки: исходное уравнение не имеет решений. Это видно из того, что левая часть строго больше нуля ${\displaystyle (x\geqslant 0,}$ так как он под корнем). При возведении в квадрат появились два посторонних корня, но проверка их отбраковала[14].

Софизм 2. Решим уравнение: ${\displaystyle x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},}$ где ${\displaystyle a}$ — произвольное вещественное число.

Умножив обе части уравнения на ${\displaystyle (-3a)}$ и затем прибавив к ним ${\displaystyle x^{3}-a^{3},}$ мы преобразуем уравнение к виду: ${\displaystyle (x-a)^{3}=x^{3}.}$ После извлечения кубического корня получается уравнение ${\displaystyle x-a=x,}$ откуда: ${\displaystyle a=0,}$ то есть все числа равны нулю.

• Причина ошибки: мы обращались с неизвестным ${\displaystyle x}$ как с вещественным числом, однако исходное уравнение, как легко убедиться, не имеет вещественных корней (исключая как раз случай ${\displaystyle a=0}$), потому что его дискриминант ${\displaystyle D=-a^{2}/3\leqslant 0.}$ Если же рассматривать уравнение в системе комплексных чисел, то все рассуждения до извлечения кубического корня верны, но комплексный кубический корень имеет три значения, поэтому из равенства кубов не следует равенства самих величин[15].

Исчезновение клетки

Софизм 1. Разрежем треугольник на четыре части, как показано на верхней части рисунка, а затем составим из этих частей новый треугольник такой же величины, как показано на нижней части рисунка. От перестановки местами частей общая площадь изменяется на одну клетку!

• Причина ошибки: прямая, которая кажется гипотенузой треугольника, на деле является ломаной, то есть рассматриваемая фигура — не треугольник, а четырёхугольник. Это легко заключить из того факта, что в красном треугольнике отношение катетов равно 3:8, а в синем — 2:5, что немного больше. Значит, у верхней фигуры ломаная чуть-чуть вогнута, у нижней — чуть-чуть выпукла, и разница в площади как раз даёт «лишнюю» клетку[16].

Лишняя клетка

У данного софизма имеется множество вариантов, один из которых приведен на рисунке: перекладывая части прямоугольника площадью ${\displaystyle 24\cdot 9=216,}$ мы получаем прямоугольник площадью ${\displaystyle 31\cdot 7=217.}$ Причина аналогична: вдоль диагонали второго прямоугольника растянута дырочка площадью в одну клетку.

Софизм о равенстве треугольников

Софизм 2. Будем опираться на признак: два треугольника равны, если у них равны две стороны и один из углов. У треугольников ABC и ABC' равны угол ${\displaystyle \beta }$ и две стороны (сторона ${\displaystyle c}$ общая, ${\displaystyle b=b'}$) и значит, треугольники равны, что противоречит построению на рисунке (углы ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \gamma '}$ не равны 90°, поэтому точки C и C' не совпадают).

• Причина ошибки: небрежная и поэтому ошибочная формулировка признака равенства треугольников, правильно: «два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол между ними». Собственно, данный софизм можно рассматривать как убедительное опровержение ошибочного признака[17].

Софизм о равнобедренности всех треугольников

Софизм 3: «все треугольники равнобедренные» (часто приписывается Льюису Кэрроллу[18])[19]. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (см. рисунок). Биссектриса угла A и перпендикуляр к середине стороны BC пересекаются в некоторой точке O. Опустим из точки O перпендикуляры OR (на сторону AB) и OQ (на сторону AC), а также соединим O с вершинами B и C..

Прямоугольные треугольники RAO и QAO равны, потому что у них равны одна сторона (AO) и угол (∠RAO = ∠QAO). Равны также прямоугольные треугольники ROB и QOC, потому что у них равны две стороны: BO = OC и RO = OQ. Но тогда AR = AQ, RB = QC, и сторона AB = AR + RB = AQ + QC = AC — треугольник равнобедренный.

• Причина ошибки: намеренно искажённый чертёж. Если его выполнить аккуратно, точка O будет не внутри, а вне треугольника (на описанной вокруг треугольника окружности). При этом одна из точек R и Q находится на стороне треугольника, а другая — на продолжении другой стороны: если сторона ${\displaystyle AB>AC}$, то R внутри, Q снаружи, иначе наоборот. В первом случае ${\displaystyle AB=AR+RB;AC=AQ-QC}$ — минус вместо плюса; аналогично разбирается второй случай[20].

Стандартные обозначения в треугольнике

Софизм. Рассмотрим известное тригонометрическое тождество: ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .}$ В любом треугольнике сумма углов ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}$ поэтому ${\displaystyle \sin(\pi -(\alpha +\beta ))}$ равен, с одной стороны, ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$ по тождеству, а с другой стороны — ${\displaystyle \sin \gamma .}$ Следовательно, углы тоже равны: ${\displaystyle \alpha +\beta =\gamma .}$ Вычитая это равенство из тождества: ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}$ получаем: ${\displaystyle 2\gamma =\pi ,}$ или ${\displaystyle \gamma =\pi /2.}$ Вывод: любой треугольник — прямоугольный.

• Причина ошибки: равенство ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma }$ действительно имеет место для любого треугольника, но из него не следует равенство углов — это показывает и формула ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .}$ У любых двух углов, дополняющих друг друга до ${\displaystyle \pi ,}$ синусы одинаковы[21].

Софизм. Докажем, что все лошади одной масти. Доказательство ведём индукцией по числу ${\displaystyle N}$ лошадей. При ${\displaystyle N=1}$ утверждение тривиально. Пусть все табуны из ${\displaystyle N}$ лошадей одной масти; докажем для табуна из ${\displaystyle N+1}$ лошадей. Уберём одну лошадь; все оставшиеся имеют одинаковую масть по предположению индукции. Вернём лошадь в табун и заберём другую лошадь. Тогда и ранее отделявшаяся лошадь получается той же масти.

• Причина ошибки: вторая часть доказательства не работает при переходе от ${\displaystyle N=1}$ к ${\displaystyle N=2}$ (трюк с отделением лошади тогда ничего не доказывает)[22].

Этот остроумный софизм имеет интересную вариацию: доказательство утверждения, что все целые числа равны. Докажем индукцией по длине ${\displaystyle N}$ отрезка натуральных чисел ${\displaystyle 1,2,3,\dots ,N}$. При ${\displaystyle N=1}$ чисел в отрезке всего одно, и утверждение справедливо. Пусть утверждение верно для первых ${\displaystyle N}$ чисел, докажем для ${\displaystyle N+1.}$ Возьмём два произвольных числа ${\displaystyle 1\leqslant a,b\leqslant N+1.}$ По предположению индукции ${\displaystyle a-1=b-1,}$ но тогда и ${\displaystyle a=b}$ ■ Ошибка здесь аналогична предыдущей: для отрезка длины 2, ${\displaystyle a=1,b=2}$ значение ${\displaystyle a-1}$ выходит за пределы предположения индукции, разрушая логику доказательства[23].

Софизм 1. Мнимая единица определяется как ${\displaystyle {\sqrt {-1}},}$ так что ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ Но ${\displaystyle i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1.}$ Получается, что ${\displaystyle 1=-1.}$

• Причина ошибки: в системе комплексных чисел надо осторожно обращаться с корнями. Арифметический корень, обозначаемый знаком радикала, определяется только для положительных вещественных чисел, а комплексные квадратные корни из отрицательных чисел двузначны. Поэтому равенство ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$ следует заменить на ${\displaystyle {\sqrt {1}}=\pm 1,}$ и тогда ошибки не возникает[24].

Софизм 2. Возведём известное тождество ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$ в степень ${\displaystyle i.}$ Слева получится ${\displaystyle e^{-2\pi },}$ справа, очевидно, 1. В итоге: ${\displaystyle e^{-2\pi }=1,}$ что, как легко проверить, неверно.

• Причина ошибки: возведение в комплексную степень даёт многозначный результат, поэтому правило ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}}$ здесь неприменимо, надо использовать общее определение (см. Комплексная степень); Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа ${\displaystyle e^{-2\pi k};}$ отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при ${\displaystyle k=0}$ и при ${\displaystyle k=1.}$

Софизм 1. Найдём предел выражения ${\displaystyle {\frac {ax+y}{x+ay}},}$ когда ${\displaystyle x,y\to \infty .}$ Если сначала устремить ${\displaystyle x\to \infty ,}$ то предел равен ${\displaystyle a}$ (независимо от значения ${\displaystyle y}$), а если начать с ${\displaystyle y,}$ то предел равен ${\displaystyle 1/a.}$ Получается, что любое число равно своему обратному.

• Причина ошибки: собственно, ошибка только в окончательном выводе. Перестановка порядка частичных пределов, вообще говоря, может изменить результат[25].

Софизм 1. Рассмотрим бесконечный ряд для натурального логарифма ${\displaystyle \ln 2}$, получаемый из ряда Меркатора при ${\displaystyle x=1\colon }$

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}\dots }$

Сгруппируем вместе члены с одинаковыми знаками:

${\displaystyle \ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)-2\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)}$

Объединив первые две скобки и внеся множитель 2 внутрь третьей скобки, получаем разность двух одинаковых величин, то есть ноль, хотя ${\displaystyle \ln 2}$ не равен нулю:

${\displaystyle \ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)-\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)=0}$

• Причина ошибки: не всякая перегруппировка членов ряда разрешена, она справедлива только для абсолютно сходящихся рядов. В частности, представление сходящегося исходного ряда в виде разности двух расходящихся рядов некорректно. Ряд ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\dots }$ называется «гармоническим», и он расходится, хотя отличается от исходного только знаками членов[26].

Софизм. Проинтегрируем два тождества:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=-2\sin x\cos x.}$

Результаты:

${\displaystyle \int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x}$

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=0,}$

в то время как справа должна быть 1.

• Причина ошибки: в значения неопределённых интегралов забыли включить константы интегрирования[27]:

${\displaystyle \int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x+C_{2}}$

Софизм 1. Найдём интеграл от положительной функции по формуле Ньютона — Лейбница:

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{-1}^{1}=-1-1=-2.}$

Интеграл от положительной функции оказался отрицательным («парадокс Даламбера», 1768 год)[28].

• Причина ошибки: подынтегральная функция разрывна (и не ограничена) в нуле, поэтому формула Ньютона — Лейбница к ней неприменима.

Софизм 2. Найдём интеграл от положительной функции методом замены переменной:

${\displaystyle I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx}$

Введём новую переменную ${\displaystyle y=x^{2};dy=xdx}$; отрезок интегрирования ${\displaystyle [-1;1]}$ для ${\displaystyle x}$ перейдёт в отрезок ${\displaystyle [1;1]}$ для ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.}$ Правильный ответ: ${\displaystyle I={\frac {2}{3}}.}$

• Причина ошибки: при замене переменной старая и новая переменные должны находиться во взаимно-однозначном соответствии, иначе обратная функция ${\displaystyle x=x(y)}$ не определена[29]; в софизме это правило нарушено.

Несколько дополнительных примеров софизмов и парадоксальных выводов, вызвавших оживлённое обсуждение в научном сообществе:

• Задача о двух конвертах в теории вероятностей.
• Парадокс Карри в математической логике.
• Парадокс Скулема в теории множеств.
• Петербургский парадокс