Парадокс Скулема

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она, в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Скулема, имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть, всего лишь счётное множество объектов ${\displaystyle M}$ (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката ${\displaystyle x\in y}$ для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее аксиомам этой теории (например, ZF или ZFC — в предположении их непротиворечивости, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели ${\displaystyle y}$ лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение ${\displaystyle \ldots \in y}$. Фиксируем такую модель ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ со счётным ${\displaystyle M}$ в качестве предметной области.

В силу теорем ZF, вне зависимости от принятой модели в ZF выводимо, например, существование терма ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$, мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более, чем счётно — противоречие?

Проведём рассуждение аккуратно. Факт ${\displaystyle \mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))}$ означает, что существует такой объект ${\displaystyle c\in M}$, что формула первого порядка, соответствующая выражению ${\displaystyle x={\mathcal {P}}(\omega )}$, истинна в модели ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ на оценке, при которой индивидной переменной ${\displaystyle x}$ поставлен в соответствие объект ${\displaystyle c}$. Теорема Кантора утверждает, что ${\displaystyle x}$ — несчётно, что по определению значит

${\displaystyle \mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f}$ — биекция между ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$ и ${\displaystyle \omega )\land \exists f(f}$ — биекция между ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \omega \cup {\omega }),}$

где «${\displaystyle f}$ — биекция между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$» означает ${\displaystyle \forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))}$, где ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle }$ — любое кодирование упорядоченных пар, например, ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\}}$.

Но это значит лишь то, что среди элементов ${\displaystyle M}$ нет такого ${\displaystyle f}$, что в модели ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ оно удовлетворяло бы свойствам биекции между ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$ и ${\displaystyle \omega }$. При этом не важно, что в отношение принадлежности с объектом из ${\displaystyle M}$, соответствующим терму ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$ может входить не более чем счётное число объектов из ${\displaystyle M}$ — важно то, что среди объектов ${\displaystyle M}$ не существует ${\displaystyle f}$, осуществляющего необходимую биекцию.

Рассуждение «если модель счётна, то в отношение ${\displaystyle \in }$ с любым объектом может входить не более чем счётное число объектов» есть рассуждение внешнее по отношению к изучаемой аксиоматической теории и никакой формуле в этой теории не соответствует. С внешней точки зрения на теорию ZF «множество всех множеств» (второй раз слово «множество» здесь обозначает лишь некоторый объект предметной области ZF) может существовать и даже быть счётным, что никак не связано (и потому не может противоречить) с выводимыми в ZF формулами.

• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.