Дерево палиндромов

Дерево палиндромов (англ. palindromic tree, также овердрево[1], англ. eertree) — структура данных, предназначенная для хранения и обработки палиндромных подстрок некоторой строки. Была предложена учёными из Уральского федерального университета Михаилом Рубинчиком и Арсением Шуром в 2015 году. Представляет собой два префиксных дерева, собранных из правых «половинок» палиндромных подстрок чётной и нечётной длины соответственно. Структура занимает памяти и может быть построена за время , где  — длина строки, а  — количество различных символов в ней. С помощью дерева палиндромов можно эффективно решать такие задачи, как подсчёт числа различных палиндромных подстрок, поиск разбиения строки на наименьшее число палиндромов, проверка подстроки на то, является ли она палиндромом, и другие.

Дерево палиндромов
англ. eertree

Дерево палиндромов для строки eertree
Тип структура данных
Год изобретения 2015
Автор Михаил Рубинчик[d]
Сложность в О-символике
В худшем случае
Построение
Расход памяти
 Медиафайлы на Викискладе

Обозначения

Пусть  — некоторая строка, а  — обращённая строка . При описании дерева палиндромов строки используются следующие обозначения[2]:

  • Строка называется палиндромом, если она читается одинаково слева направо и справа налево, то есть если .
  • Подстрокой называют непрерывную подпоследовательность строки и обозначают .
  • В частности, подстрока, у которой , называется префиксом строки , а подстрока, у которой , — суффиксом строки .
  • Палиндромной подстрокой (подпалиндромом) называют подстроку , которая является палиндромом. Если эта подстрока также является префиксом или суффиксом строки , то её называют префикс- или суффикс-палиндромом соответственно.
  • Каждой вершине префиксного дерева соответствует строка, равная конкатенации символов на пути из корня дерева в эту вершину.

Структура дерева

В обозначениях выше, дерево палиндромов строки  — это ориентированный граф, каждая вершина которого соответствует некоторому уникальному подпалиндрому строки и отождествляется с ним. Если у строки есть подпалиндромы и , где  — некоторый символ алфавита, то в дереве палиндромов есть дуга, помеченная символом , из вершины, соответствующей , в вершину, соответствующую . В таком графе у любой вершины может быть только одна входящая дуга. Для удобства также вводятся две служебные вершины, которые соответствуют палиндромам длины (пустая строка) и («мнимая» строка) соответственно. Дуги из пустой строки ведут в вершины, соответствующие палиндромам вида , а из «мнимой строки» — в вершины, соответствующие палиндромам вида (то есть состоящим из единственного символа). Вершина называется чётной, если ей соответствует палиндром чётной длины, и нечётной в противном случае. Из определения следует, что дуги в дереве палиндромов проходят только между вершинами с одинаковой чётностью. С точки зрения префиксных деревьев данная структура может быть описана следующим образом[3]:

Вершины и дуги дерева палиндромов образуют два префиксных дерева, корни которых находятся в вершинах, задающих пустую и «мнимую» строки соответственно. При этом первое префиксное дерево составлено из правых половин подпалиндромов чётной длины, а второе — нечётной.

Количество вершин в дереве палиндромов не превосходит , что является прямым следствием следующей леммы[4]:

У строки длины может быть не больше различных непустых палиндромных подстрок. Более того, после приписывания некоторого символа в конец строки количество различных подпалиндромов данной строки может увеличиться не больше, чем на .

Помимо обычных дуг, которые служат переходами для префиксного дерева, для каждой вершины дерева палиндромов определяется суффиксная ссылка, которая ведёт из вершины в вершину , соответствующую наибольшему собственному (не равному всей строке ) суффикс-палиндрому . При этом суффиксная ссылка из «мнимой» вершины не определена, а из пустой вершины по определению ведёт в «мнимую». Суффиксные ссылки образуют дерево с корнем в «мнимой» вершине и играют важную роль в построении дерева палиндромов[3].

Построение

Как и многие другие строковые структуры, дерево палиндромов строится итеративно. Изначально оно состоит лишь из вершин, соответствующих пустой и мнимой строкам. Затем структура постепенно перестраивается при наращивании строки по одному символу. Так как при добавлении одного символа в строке появляется не более одного нового палиндрома, перестройка дерева в худшем случае потребует добавления одной новой вершины и суффиксной ссылки к ней. Для определения возможной новой вершины в ходе построения дерева поддерживается указатель last на вершину, соответствующую наибольшему из текущих суффикс-палиндромов[3].

Все суффикс-палиндромы строки достижимы по суффиксным ссылкам из last, поэтому для определения нового суффикс-палиндрома (именно он будет соответствовать новой вершине, если таковая появится) необходимо переходить по суффиксным ссылкам last, пока не обнаружится, что символ, предшествующий текущему суффикс-палиндрому, совпадает с символом, который был приписан к строке. Более формально, пусть  — максимальный суффикс-палиндром строки , тогда либо , либо , где  — некоторый суффикс-палиндром . Таким образом, перебирая среди суффиксных ссылок last, можно определить, может ли он быть расширен до путём сравнения символов и . Когда соответствующий суффикс-палиндром был найден, следует проверить, присутствует ли в дереве палиндромов переход из соответствующей ему вершины по символу [3].

Если такой переход есть, то уже встречался в строке ранее и соответствует вершине, в которую ведёт этот переход. В противном случае необходимо создать для него новую вершину и провести переход по из . Затем следует определить суффиксную ссылку для , которая соответствует второму максимальному суффикс-палиндрому . Для того, чтобы её найти, следует продолжать обход суффиксных ссылок last, пока не встретится вторая вершина , такая что ; именно эта вершина и будет суффиксный ссылкой . Если обозначить переход из вершины по символу как , весь процесс может быть описан следующим псевдокодом[3]:

функция find_link(v):
    пока sk-len(v)-1 ≠ sk:
        присвоить v = link(v)
    вернуть v

функция add_letter(c):
    присвоить k = k + 1
    определить sk = c
    определить q = find_link(last)
    если δ(q, c) не определено:
        определить p = new_vertex()
        определить len(p) = len(q) + 2
        определить link(p) = δ(find_link(link(q)), c)
        определить δ(q, c) = p
    присвоить last = δ(q, c)

Здесь предполагается, что изначально дерево описывается лишь двумя вершинами с длинами и соответственно с суффиксной ссылкой из первой вершины во вторую. В переменной last хранится вершина, соответствующая наибольшему суффикс-палиндрому текущей строки, изначально она указывает на вершину нулевой строки. Также предполагается, что изначально равно и в записан некоторый служебный символ, который не встречается в строке .

Вычислительная сложность

Сложность алгоритма может варьировать в зависимости от структур данных, в которых хранится таблица переходов в дереве. В общем случае при использовании ассоциативного массива время, затрачиваемое на обращение к , достигает , где  — размер алфавита, из символов которого построена строка. Стоит заметить, что каждая итерация первого вызова find_link уменьшает длину last, а второго — длину link(last), которые между последовательными вызовам add_letter могут увеличиться только на единицу. Таким образом, суммарное время работы find_link не превосходит , а общее время, требуемое для выполнения вызовов add_letter, можно оценить как [3]. Расход памяти у данной структуры в худшем случае линейный, однако если рассматривать усреднённый размер структуры по всем строкам заданной длины , средний расход памяти будет порядка [6].

Модификации

Одновременно с введением данной структуры данных Рубинчик и Шур также предложили ряд модификаций, позволяющих расширить область задач, решаемых деревом палиндромов. В частности, был предложен метод, позволяющий с той же асимптотикой построить общее дерево палиндромов для множества строк . Такая модификация позволяет решать те же задачи, рассматриваемые в контексте множества строк — например, найти наибольший общий подпалиндром всех строк или число различных подпалиндромов всех строк в совокупности. Другой предложенной модификацией стал вариант построения дерева, при котором на добавление одного символа требуется времени в худшем случае (а не амортизированно, как это происходит в стандартном построении) и памяти. Такой подход позволяет обеспечить частичную персистентность дерева, при которой можно в произвольные моменты времени откатывать добавление последнего символа. Кроме того, была предложена полностью персистентная версия дерева, позволяющая обратиться и дописать символ к любой из сохранённых ранее версий за времени и памяти в худшем случае[7].

В 2019 году Ватанабе с коллегами разработали на основе дерева палиндромов структуру данных, называемую e2rtre2, для работы с подпалиндромами строк, заданных кодированием длин серий[4], а в 2020 году тот же состав авторов, совместно с Миено, разработали два алгоритма, позволяющих поддерживать дерево палиндромов на скользящем окне размера . Первый из указанных алгоритмов требует времени и памяти, а второй — времени и памяти[8].

Применения

Дерево палиндромов даёт множество возможных применений для получения теоретически быстрых и практически легко реализуемых алгоритмов для решения ряда комбинаторных задач в программировании и математической кибернетике[9].

Одной из задач, для которых была разработана данная структура, является подсчёт различных подпалиндромов в строке в режиме онлайн. Она может быть поставлена следующим образом: к изначально пустой строке поочерёдно приписывается по одному символу. На каждом шаге необходимо вывести число различных подпалиндромов в данной строке. С точки зрения дерева палиндромов это эквивалентно тому, чтобы на каждом шаге вывести количество нетривиальных вершин в структуре. Линейное решение для оффлайн-версии данной задачи было представлено в 2010 году[10], а оптимальное решение со временем исполнения для онлайн-версии было найдено в 2013 году[11]. Указанное решение, однако, использовало две «тяжеловесные» структуры данных — аналог алгоритма Манакера, а также суффиксное дерево. Дерево палиндромов же, с одной стороны, имеет ту же асимптотику в худшем случае, а с другой — является значительно более легковесной структурой[3].

Другим возможным применением данной структуры является перечисление палиндромно-богатых двоичных строк[12]. Ранее было показано, что слово длины может содержать не более различных палиндромов, палиндромно-богатыми называются слова, на которых данная оценка достигается. Понятие палиндромно-богатых слов было введено Эми Глен и коллегами в 2008 году[13]. Рубинчик и Шур показали, что с помощью дерева палиндромов можно обнаружить все палиндромно-богатые слова, чья длина не превосходит за , где  — количество таких слов. Данный результат позволил увеличить количество известных членов последовательности A216264 в OEIS c 25 до 60. Полученные данные показали, что последовательность растёт значительно медленнее, чем это предполагалось ранее, а именно она ограничена сверху как [14].

Примечания

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.