Дерево палиндромов

Пусть ${\displaystyle S=s_{1}s_{2}\dots s_{n}}$ — некоторая строка, а ${\displaystyle S^{R}=s_{n}s_{n-1}\dots s_{1}}$ — обращённая строка ${\displaystyle S}$. При описании дерева палиндромов строки ${\displaystyle S}$ используются следующие обозначения[2]:

• Строка ${\displaystyle S}$ называется палиндромом, если она читается одинаково слева направо и справа налево, то есть если ${\displaystyle S=S^{R}}$.

• Подстрокой называют непрерывную подпоследовательность строки ${\displaystyle S}$ и обозначают ${\displaystyle S_{l,r}=s_{l}s_{l+1}\dots s_{r}}$.

• В частности, подстрока, у которой ${\displaystyle l=1}$, называется префиксом строки ${\displaystyle S}$, а подстрока, у которой ${\displaystyle r=n}$, — суффиксом строки ${\displaystyle S}$.

• Палиндромной подстрокой (подпалиндромом) называют подстроку ${\displaystyle S}$, которая является палиндромом. Если эта подстрока также является префиксом или суффиксом строки ${\displaystyle S}$, то её называют префикс- или суффикс-палиндромом соответственно.

• Префиксным деревом называют корневое ориентированное дерево, дуги которого помечены символами таким образом, что из любой вершины ${\displaystyle v}$ этого дерева исходит не больше одной дуги, помеченной данным символом.

• Каждой вершине префиксного дерева соответствует строка, равная конкатенации символов на пути из корня дерева в эту вершину.

В обозначениях выше, дерево палиндромов строки ${\displaystyle S}$ — это ориентированный граф, каждая вершина которого соответствует некоторому уникальному подпалиндрому строки и отождествляется с ним. Если у строки есть подпалиндромы ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle ctc}$, где ${\displaystyle c}$ — некоторый символ алфавита, то в дереве палиндромов есть дуга, помеченная символом ${\displaystyle c}$, из вершины, соответствующей ${\displaystyle t}$, в вершину, соответствующую ${\displaystyle ctc}$. В таком графе у любой вершины может быть только одна входящая дуга. Для удобства также вводятся две служебные вершины, которые соответствуют палиндромам длины ${\displaystyle 0}$ (пустая строка) и ${\displaystyle -1}$ («мнимая» строка) соответственно. Дуги из пустой строки ведут в вершины, соответствующие палиндромам вида ${\displaystyle cc}$, а из «мнимой строки» — в вершины, соответствующие палиндромам вида ${\displaystyle c}$ (то есть состоящим из единственного символа). Вершина называется чётной, если ей соответствует палиндром чётной длины, и нечётной в противном случае. Из определения следует, что дуги в дереве палиндромов проходят только между вершинами с одинаковой чётностью. С точки зрения префиксных деревьев данная структура может быть описана следующим образом[3]:

Количество вершин в дереве палиндромов не превосходит ${\displaystyle n+2}$, что является прямым следствием следующей леммы[4]:

Помимо обычных дуг, которые служат переходами для префиксного дерева, для каждой вершины дерева палиндромов определяется суффиксная ссылка, которая ведёт из вершины ${\displaystyle v}$ в вершину ${\displaystyle u}$, соответствующую наибольшему собственному (не равному всей строке ${\displaystyle v}$) суффикс-палиндрому ${\displaystyle v}$. При этом суффиксная ссылка из «мнимой» вершины не определена, а из пустой вершины по определению ведёт в «мнимую». Суффиксные ссылки образуют дерево с корнем в «мнимой» вершине и играют важную роль в построении дерева палиндромов[3].

Как и многие другие строковые структуры, дерево палиндромов строится итеративно. Изначально оно состоит лишь из вершин, соответствующих пустой и мнимой строкам. Затем структура постепенно перестраивается при наращивании строки по одному символу. Так как при добавлении одного символа в строке появляется не более одного нового палиндрома, перестройка дерева в худшем случае потребует добавления одной новой вершины и суффиксной ссылки к ней. Для определения возможной новой вершины в ходе построения дерева поддерживается указатель last на вершину, соответствующую наибольшему из текущих суффикс-палиндромов[3].

Все суффикс-палиндромы строки достижимы по суффиксным ссылкам из last, поэтому для определения нового суффикс-палиндрома (именно он будет соответствовать новой вершине, если таковая появится) необходимо переходить по суффиксным ссылкам last, пока не обнаружится, что символ, предшествующий текущему суффикс-палиндрому, совпадает с символом, который был приписан к строке. Более формально, пусть ${\displaystyle P}$ — максимальный суффикс-палиндром строки ${\displaystyle S_{1,k}=s_{1}s_{2}\dots s_{k}}$, тогда либо ${\displaystyle P=s_{k}}$, либо ${\displaystyle P=s_{k}Qs_{k}}$, где ${\displaystyle Q}$ — некоторый суффикс-палиндром ${\displaystyle S_{1,k-1}}$. Таким образом, перебирая ${\displaystyle Q}$ среди суффиксных ссылок last, можно определить, может ли он быть расширен до ${\displaystyle P}$ путём сравнения символов ${\displaystyle s_{k-|Q|-1}}$ и ${\displaystyle s_{k}}$. Когда соответствующий суффикс-палиндром ${\displaystyle Q}$ был найден, следует проверить, присутствует ли в дереве палиндромов переход из соответствующей ему вершины по символу ${\displaystyle s_{k}}$[3].

Если такой переход есть, то ${\displaystyle P}$ уже встречался в строке ранее и соответствует вершине, в которую ведёт этот переход. В противном случае необходимо создать для него новую вершину и провести переход по ${\displaystyle s_{k}}$ из ${\displaystyle Q}$. Затем следует определить суффиксную ссылку для ${\displaystyle P}$, которая соответствует второму максимальному суффикс-палиндрому ${\displaystyle S_{1,k}}$. Для того, чтобы её найти, следует продолжать обход суффиксных ссылок last, пока не встретится вторая вершина ${\displaystyle Q}$, такая что ${\displaystyle s_{k-|Q|-1}=s_{k}}$; именно эта вершина и будет суффиксный ссылкой ${\displaystyle P}$. Если обозначить переход из вершины ${\displaystyle v}$ по символу ${\displaystyle c}$ как ${\displaystyle \delta (v,c)}$, весь процесс может быть описан следующим псевдокодом[3]:

функция find_link(v):
    пока sk-len(v)-1 ≠ sk:
        присвоить v = link(v)
    вернуть v

функция add_letter(c):
    присвоить k = k + 1
    определить sk = c
    определить q = find_link(last)
    если δ(q, c) не определено:
        определить p = new_vertex()
        определить len(p) = len(q) + 2
        определить link(p) = δ(find_link(link(q)), c)
        определить δ(q, c) = p
    присвоить last = δ(q, c)

Здесь предполагается, что изначально дерево описывается лишь двумя вершинами с длинами ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle -1}$ соответственно с суффиксной ссылкой из первой вершины во вторую. В переменной last хранится вершина, соответствующая наибольшему суффикс-палиндрому текущей строки, изначально она указывает на вершину нулевой строки. Также предполагается, что ${\displaystyle k}$ изначально равно ${\displaystyle 0}$ и в ${\displaystyle s_{0}}$ записан некоторый служебный символ, который не встречается в строке ${\displaystyle s_{1}s_{2}\dots s_{k}}$.

Одновременно с введением данной структуры данных Рубинчик и Шур также предложили ряд модификаций, позволяющих расширить область задач, решаемых деревом палиндромов. В частности, был предложен метод, позволяющий с той же асимптотикой построить общее дерево палиндромов для множества строк ${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{k}}$. Такая модификация позволяет решать те же задачи, рассматриваемые в контексте множества строк — например, найти наибольший общий подпалиндром всех строк или число различных подпалиндромов всех строк в совокупности. Другой предложенной модификацией стал вариант построения дерева, при котором на добавление одного символа требуется ${\displaystyle O(\log n)}$ времени в худшем случае (а не ${\displaystyle O(\log \sigma )}$ амортизированно, как это происходит в стандартном построении) и ${\displaystyle O(1)}$ памяти. Такой подход позволяет обеспечить частичную персистентность дерева, при которой можно в произвольные моменты времени откатывать добавление последнего символа. Кроме того, была предложена полностью персистентная версия дерева, позволяющая обратиться и дописать символ к любой из сохранённых ранее версий за ${\displaystyle O(\log n)}$ времени и памяти в худшем случае[7].

В 2019 году Ватанабе с коллегами разработали на основе дерева палиндромов структуру данных, называемую e²rtre², для работы с подпалиндромами строк, заданных кодированием длин серий[4], а в 2020 году тот же состав авторов, совместно с Миено, разработали два алгоритма, позволяющих поддерживать дерево палиндромов на скользящем окне размера ${\displaystyle d}$. Первый из указанных алгоритмов требует ${\displaystyle O(n\log \sigma )}$ времени и ${\displaystyle O(d)}$ памяти, а второй — ${\displaystyle O(n+d\sigma )}$ времени и ${\displaystyle O(d\sigma )}$ памяти[8].

Дерево палиндромов даёт множество возможных применений для получения теоретически быстрых и практически легко реализуемых алгоритмов для решения ряда комбинаторных задач в программировании и математической кибернетике[9].

Одной из задач, для которых была разработана данная структура, является подсчёт различных подпалиндромов в строке в режиме онлайн. Она может быть поставлена следующим образом: к изначально пустой строке поочерёдно приписывается по одному символу. На каждом шаге необходимо вывести число различных подпалиндромов в данной строке. С точки зрения дерева палиндромов это эквивалентно тому, чтобы на каждом шаге вывести количество нетривиальных вершин в структуре. Линейное решение для оффлайн-версии данной задачи было представлено в 2010 году[10], а оптимальное решение со временем исполнения ${\displaystyle O(n\log \sigma )}$ для онлайн-версии было найдено в 2013 году[11]. Указанное решение, однако, использовало две «тяжеловесные» структуры данных — аналог алгоритма Манакера, а также суффиксное дерево. Дерево палиндромов же, с одной стороны, имеет ту же асимптотику в худшем случае, а с другой — является значительно более легковесной структурой[3].

Другим возможным применением данной структуры является перечисление палиндромно-богатых двоичных строк[12]. Ранее было показано, что слово длины ${\displaystyle n}$ может содержать не более ${\displaystyle n+1}$ различных палиндромов, палиндромно-богатыми называются слова, на которых данная оценка достигается. Понятие палиндромно-богатых слов было введено Эми Глен и коллегами в 2008 году[13]. Рубинчик и Шур показали, что с помощью дерева палиндромов можно обнаружить все палиндромно-богатые слова, чья длина не превосходит ${\displaystyle n}$ за ${\displaystyle O(R)}$, где ${\displaystyle R}$ — количество таких слов. Данный результат позволил увеличить количество известных членов последовательности A216264 в OEIS c 25 до 60. Полученные данные показали, что последовательность растёт значительно медленнее, чем это предполагалось ранее, а именно она ограничена сверху как ${\displaystyle O(1,605^{n})}$[14].

• Дерево палиндромов (неопр.). Вики-конспекты ИТМО.