Алгоритм Нидлмана — Вунша

Соответствие выровненных символов задается матрицей похожести. Здесь ${\displaystyle S(a,\;b)}$ — похожесть символов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Также используется линейный штраф за разрыв, называемый здесь ${\displaystyle d}$.

Например, если матрица похожести задается таблицей

то выравнивание:

 GTTAC‒‒
 G‒‒ACGT

со штрафом за разрыв ${\displaystyle d=-5}$ будет иметь следующую оценку:

${\displaystyle S(G,\;G)+2\times d+S(A,\;A)+S(C,\;C)+2\times d}$

${\displaystyle =7+(2\times -5)+10+9+(2\times -5)=6.}$

Для нахождения выравнивания с наивысшей оценкой назначается двумерный массив (или матрица) ${\displaystyle F}$, содержащая столько же строк, сколько символов в последовательности ${\displaystyle A}$, и столько же столбцов, сколько символов в последовательности ${\displaystyle B}$. Запись в строке ${\displaystyle i}$ и столбце ${\displaystyle j}$ обозначается далее как ${\displaystyle F_{ij}}$. Таким образом, если мы выравниваем последовательности размеров ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$, то количество требуемой памяти будет ${\displaystyle O(nm)}$. (Алгоритм Хиршберга (англ. Hirschberg's algorithm) позволяет вычислять оптимальное выравнивание, используя ${\displaystyle O(n+m)}$ количество памяти, но примерно вдвое большее время счета.)

В процессе работы алгоритма величина ${\displaystyle F_{ij}}$ будет принимать значения оптимальной оценки для выравнивания первых ${\displaystyle i=0,\;\ldots ,\;n}$ символов в ${\displaystyle A}$ и первых ${\displaystyle j=0,\;\ldots ,\;m}$ символов в ${\displaystyle B}$. Тогда принцип оптимальности Беллмана может быть сформулирован следующим образом:

  Базис:
  ${\displaystyle F_{0j}=d\cdot j}$
  ${\displaystyle F_{i0}=d\cdot i}$
  Рекурсия, основанная на принципе оптимальности:
  ${\displaystyle F_{ij}=\max(F_{i-1,\;j-1}+S(A_{i},\;B_{j}),\;F_{i,\;j-1}+d,\;F_{i-1,\;j}+d).}$

Таким образом, псевдо-код алгоритма для вычисления матрицы F будет выглядеть следующим образом:

  for i=0 to length(A)
    F(i,0) ← d*i
  for j=0 to length(B)
    F(0,j) ← d*j
  for i=1 to length(A)
    for j = 1 to length(B)
    {
      Match ← F(i-1,j-1) + S(Ai, Bj)
      Delete ← F(i-1, j) + d
      Insert ← F(i, j-1) + d
      F(i,j) ← max(Match, Insert, Delete)
    }

Когда матрица ${\displaystyle F}$ рассчитана, её элемент ${\displaystyle F_{ij}}$ дает максимальную оценку среди всех возможных выравниваний. Для вычисления самого выравнивания, которое получило такую оценку, нужно начать с правой нижней клетки и сравнивать значения в ней с тремя возможными источниками (соответствие, вставка или удаление), чтобы увидеть, откуда оно появилось. В случае соответствия ${\displaystyle A_{i}}$ и ${\displaystyle B_{j}}$ выровнены, в случае удаления${\displaystyle A_{i}}$ выровнено с разрывом, а в случае вставки с разрывом выровнено уже ${\displaystyle B_{j}}$. (В общем случае может быть более одного варианта с одинаковым значением, которые приведут к альтернативным оптимальным выравниваниям.)

  AlignmentA ← ""
  AlignmentB ← ""
  i ← length(A)
  j ← length(B)
  while (i > 0 or j > 0)
  {
    Score ← F(i,j)
    ScoreDiag ← F(i - 1, j - 1)
    ScoreUp ← F(i, j - 1)
    ScoreLeft ← F(i - 1, j)
    if (Score == ScoreDiag + S(Ai, Bj))
    {
      AlignmentA ← Ai + AlignmentA
      AlignmentB ← Bj + AlignmentB
      i ← i - 1
      j ← j - 1
    }
    else if (Score == ScoreLeft + d)
    {
      AlignmentA ← Ai + AlignmentA
      AlignmentB ← "-" + AlignmentB
      i ← i - 1
    }
    otherwise (Score == ScoreUp + d)
    {
      AlignmentA ← "-" + AlignmentA
      AlignmentB ← Bj + AlignmentB
      j ← j - 1
    }
  }
  while (i > 0)
  {
    AlignmentA ← Ai + AlignmentA
    AlignmentB ← "-" + AlignmentB
    i ← i - 1
  }
  while (j > 0)
  {
    AlignmentA ← "-" + AlignmentA
    AlignmentB ← Bj + AlignmentB
    j ← j - 1
  }

Нидлман и Вунш описали свой алгоритм в явном виде для случая, когда оценивается только соответствие или несоответствие символов, но не разрыв (${\displaystyle d=0}$). В оригинальной публикации[1] от 1970 года предлагается рекурсия

${\displaystyle F_{ij}=\max _{h<i,\;k<j}\{F_{h,\;j-1}+S(A_{i},\;B_{j}),\;F_{i-i,\;k}+S(A_{i},\;B_{j})\}.}$

Соответствующий алгоритм динамического программирования требует кубического времени для расчета. В статье также указывается, что рекурсия может быть адаптирована и на случай любой формулы для штрафа за разрыв:

Штраф за разрыв — число, вычитаемое за каждый разрыв, — может рассматриваться, как помеха появлению разрывов в выравнивании. Величина штрафа за разрыв может быть функцией размера и/или направления разрыва. [стр. 444]

Более быстрый алгоритм динамического программирования с квадратичным временем выполнения для той же задачи (нет штрафа за разрыв) был впервые предложен[2] Давидом Санкофф в 1972. Аналогичный квадратичный по времени алгоритм был независимо открыт Т. К. Винцюком[3] в 1968 для обработке речи (динамическое предыскажение шкалы) и Робертом А. Вагнером и Майклом Дж. Фишером[4] в 1974 для сопоставления строк.

Нидлман и Вунш сформулировали свою задачу в терминах максимизации похожести. Другая возможность заключается в минимизации редакционного расстояния между последовательностями, предложенной В. Левенштейном, однако было показано[5], что две эти задачи эквивалентны.

В современной терминологии «Нидлман — Вунш» относится к алгоритму выравнивания последовательностей квадратичному по времени для линейного или аффинного штрафа за разрыв.

• Алгоритм Смита — Ватермана
• BLAST
• Расстояние Левенштейна

• Needleman-Wunsch Algorithm as Ruby Code
• Java Implementation of the Needleman-Wunsch Algorithm
• B.A.B.A. — an applet (with source) which visually explains the algorithm.
• A clear explanation of NW and its applications to sequence alignment
• Sequence Alignment Techniques at Technology Blog