Граф Мёбиуса — Кантора

Конфигурация Мёбиуса-Кантора

Мёбиус в 1828 году[1] поставил вопрос о существовании пары многоугольников с ${\displaystyle p}$ сторонами в каждом, обладающих свойством, что вершины одного многоугольника лежат на прямых, проходящих через стороны другого, и наоборот. Если такая пара существует, то вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию. Для ${\displaystyle p=4}$ не существует решения на евклидовой плоскости, но в 1882 году Кантор[2] нашёл пару многоугольников такого типа в обобщении задачи, в котором точки и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости, то есть в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа. Решение Кантора для ${\displaystyle p=4}$ — пара взаимно вписанных четырёхугольника на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора. Граф Мёбиуса — Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по точке для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.

Граф Мёбиуса — Кантора является подграфом четырёхмерного графа гиперкуба и образован путём удаления восьми рёбер из гиперкуба[3]. Поскольку гиперкуб является графом единичных расстояний, граф Мёбиуса — Кантора можно тоже изобразить на плоскости со всеми сторонами единичной длины, хотя такое представление приведёт к появлению перекрещивающихся рёбер.

Граф Мёбиуса — Кантора, вложенный в тор. Рёбра, выходящие вверх из центрального квадрата следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вниз, а выходящие из квадрата рёбра слева следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вправо.

Граф Мёбиуса — Кантора нельзя вложить в плоскость без пересечений, его число скрещиваний равно 4, и он является наименьшим кубическим графом с таким числом скрещиваний[4]. Кроме того, граф даёт пример графа, все подграфы которого имеют число пересечений на два и более отличающихся от числа пересечений самого графа[5]. Однако он является тороидальным — существует его вложение в тор, при котором все его грани являются шестиугольниками[6]. Двойственный граф этого вложения — это граф гипероктаэдра ${\displaystyle K_{2,2,2,2}}$.

Существует даже более симметричное вложения графа Мёбиуса — Кантора в двойной тор, являющееся правильной картой и имеющее шесть восьмиугольных граней, в котором все 96 симметрий графа можно осуществить как симметрии вложения[7]. 96-элементную группу симметрии вложения имеет граф Кэли, который может быть вложен в двойной тор. В 1984 году показано, что это единственная группа рода два[8].

Скульптура Девитта Годфри (DeWitt Godfrey) и Дуэйна Мартинеса (Duane Martinez) в виде двойного тора с вложенным графом Мёбиуса — Кантора выставлялась в Техническом музее Словении на шестой Словенской международной конференции по теории графов в 2007 году. В 2013 году вращающаяся версия скульптуры была выставлена в Колгейтском университете.

Граф Мёбиуса — Кантора допускает вложение в тройной тор (тор третьего рода), которое даёт правильную карту, имеющую четыре 12-угольных грани; [6].

В 2004 году в рамках исследования возможных химических углеродных структур, изучено семейство всех вложений графа Мёбиуса — Кантора в двумерные многообразия, в результате показано, что существует 759 неэквивалентных вложений[9].

Группа автоморфизмов графа Мёбиуса — Кантора — это группа порядка 96[10]. Она действует транзитивно на вершины и на рёбра, поэтому граф Мёбиуса — Кантора является симметричным. У него есть автоморфизмы, которые переводят любую вершину в любую другую и любое ребро в любое другое. Согласно списку Фостера граф Мёбиуса — Кантора является единственным симметричным графом с 16 вершинами и наименьшим кубическим симметричным графом, который не является дистанционно-транзитивным[11]. Граф Мёбиуса — Кантора является также графом Кэли.

Обобщённый граф Петерсена ${\displaystyle G(n,k)}$ является вершинно-транзитивным в том и только в том случае, когда ${\displaystyle n=10}$ и ${\displaystyle k=2}$, или когда ${\displaystyle k^{2}=\pm 1{\pmod {n}}}$, и рёберно-транзитивным только в следующих семи случаях: ${\displaystyle (n,k)\in \{(4,1),(5,2),(8,3),(10,2),(10,3),(12,5),(24,5)\}}$[12]. Таким образом, граф Мёбиуса — Кантора является одним этих семи ребёрно-транзитивных обобщённых графов Петерсена. Его симметричное вложение в двойной тор — одна из семи правильных кубических карт, для которых общее число вершин вдвое больше числа вершин граней[13]. Среди семи симметричных обобщённых графов Петерсена находятся кубический граф ${\displaystyle G(4,1)}$, граф Петерсена ${\displaystyle G(5,2)}$, граф додекаэдра ${\displaystyle G(10,2)}$, граф Дезарга ${\displaystyle G(10,3)}$ и граф Науру ${\displaystyle G(12,5)}$.

Характеристический многочлен графа Мёбиуса — Кантора равен:

${\displaystyle (x-3)(x-1)^{3}(x+1)^{3}(x+3)(x^{2}-3)^{4}.\ }$

• H. S. M. Coxeter. Self-dual configurations and regular graphs // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1950. — Т. 56, вып. 5. — С. 413–455. — doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5.
• R. Frucht, J. E. Graver, M. E. Watkins. The groups of the generalized Petersen graphs // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1971. — Т. 70, вып. 02. — С. 211–218. — doi:10.1017/S0305004100049811.
• S. Kantor. Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung // Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. — 1882. — Т. 84, вып. 1. — С. 915–932..
• E. Lijnen, A. Ceulemans. Oriented 2-Cell Embeddings of a Graph and Their Symmetry Classification: Generating Algorithms and Case Study of the Möbius-Kantor Graph // J. Chem. Inf. Comput. Sci.. — 2004. — Т. 44, вып. 5. — С. 1552–1564. — doi:10.1021/ci049865c. — PMID 15446812.
• Dragan Marušič, Tomaž Pisanski. The remarkable generalized Petersen graph G(8,3) // Math. Slovaca. — 2000. — Т. 50. — С. 117–121.
• Peter McMullen. The regular polyhedra of type {p, 3} with 2p vertices // Geometriae Dedicata. — 1992. — Т. 43, вып. 3. — С. 285–289. — doi:10.1007/BF00151518.
• A. F. Möbius. Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen? // J. Reine Angew. Math.. — 1828. — Т. 3. — С. 273–278.. В Gesammelte Werke (1886), том 1, страницы 439—446.
• Thomas W. Tucker. There is only one group of genus two // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1984. — Т. 36, вып. 3. — С. 269–275. — doi:10.1016/0095-8956(84)90032-7.
• W. Threlfall. Gruppenbilder // Abhandlungen der Mathematisch-Physischen Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften. — 1932. — Т. 41, вып. 6. — С. 1–59..
• Unveiling of the sculpture.

• Weisstein, Eric W. Möbius-Kantor Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Möbius-Kantor Configuration (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.