Дистанционно-транзитивный граф

Полный граф ${\displaystyle K_{7}}$

Граф Петерсона

Граф Хивуда

Граф Паппа

Граф Коксетера

Граф Татта-Коксетера

Определение дистанционно-транзитивного графа[1][2][3][4][5]:

Пусть неориентрированный, связанный, ограниченный граф ${\displaystyle \Gamma =(V,E)}$ обладает группой автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Gamma )}$. Количество ребер по наикратчайшему пути, соединяющему ${\displaystyle u,v\in V(\Gamma )}$, называется расстоянием между ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ и обозначается как ${\displaystyle d(u,v)}$. Пусть ${\displaystyle G}$ есть подгруппа ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Gamma )}$. Граф ${\displaystyle \Gamma }$ называется ${\displaystyle G}$-дистанционно-транзитивным (англ. ${\displaystyle G}$-distance-transitive), если для каждой четвёрки вершин ${\displaystyle u,v,x,y}$, таких что ${\displaystyle d(u,v)=d(x,y)}$, существует автоморфизм ${\displaystyle g\in G}$, который отображает ${\displaystyle u\rightarrow x}$ и ${\displaystyle v\rightarrow y}$.

Другими словами, ${\displaystyle \Gamma }$ есть ${\displaystyle G}$-дистанционно-транзитивный граф, если подгруппа ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на множестве ${\displaystyle \left\{(x,y)\mid x,e\in V(\Gamma ),\,d(x,y)=i\right\}}$ при каждом ${\displaystyle i}$.

Пусть ${\displaystyle \Gamma =(V,E)}$ есть неориентированный, связанный, ограниченный граф, а две его вершины ${\displaystyle u,v\in V(\Gamma )}$ находятся на расстоянии ${\displaystyle j=d(u,v)}$ друг от друга. Все вершины ${\displaystyle w}$, инцидентные к вершине ${\displaystyle u}$, можно разбить на три множества ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ в зависимости от их расстояния ${\displaystyle d(v,w)}$ до вершины ${\displaystyle v}$ :

${\displaystyle \left\{w\in A\colon d(v,w)=j\right\}}$,   ${\displaystyle \left\{w\in B\colon d(v,w)=j+1\right\}}$,   ${\displaystyle \left\{w\in C\colon d(v,w)=j-1\right\}}$.

Если граф ${\displaystyle \Gamma }$ дистанционно-транзитивный, то мощности (кардинальные числа) множеств ${\displaystyle a_{j}=|A|,\,b_{j}=|B|,\,c_{j}=|C|}$ не зависят от вершин ${\displaystyle u,v}$, а зависят только от расстояния ${\displaystyle j=d(u,v)}$ и называются числами пересечений.

Набор чисел пересечений

${\displaystyle \iota (\Gamma )={\begin{Bmatrix}\ast &c_{1}&c_{2}&\dots &c_{d-1}&c_{d}\\a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{d-1}&a_{d}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{d-1}&\ast \\\end{Bmatrix}}}$

называется массивом пересечений дистанционно-транзитивного графа[6][7].

• Каждый дистанционно-транзитивный граф является дистанционно-регулярным, однако обратное не справедливо[2][8][9][10].

Это было доказано в 1969 году, ещё до введения в обиход термина «дистанционно-транзитивный граф», группой советских математиков (Г. М. Адельсон-Вельский, Б. Ю. Вейсфелер, А. А. Леман, И. А. Фараджев)[9][10][11]. Наименьший дистанционно-регулярный граф, не являющийся дистанционно-транзитивным — это граф Шрикханде. Единственный тривалентный граф этого типа — это 12-клетка Татта, граф с 126 вершинами[9].

• Дистанционно-транзитивный граф является вершинно-транзитивным и симметричным[4].

• Массив пересечений дистанционно-регулярного графа степени ${\displaystyle k}$. Так как дистанционно-транзитивный граф является регулярным, то числа пересечений ${\displaystyle b_{0}=k}$ и ${\displaystyle c_{1}=1}$. Более того, ${\displaystyle a_{i}+b_{i}+c_{i}=k}$. Поэтому массив пересечений дистанционно-регулярного графа можно записать как[2][6][7]:

${\displaystyle \iota (\Gamma )={\begin{Bmatrix}k,\,b_{1},\,\dots ,\,b_{d-1}\,;\,1,\,c_{2},\,\dots ,\,c_{d}\end{Bmatrix}}}$

Простейшие примеры дистанционно-транзитивных графов[5][12][13]:

• полные графы ${\displaystyle K_{n}}$
• полные двудольные графы (биклики) с равными долями ${\displaystyle K_{n,n}}$
• графы гиперкуба ${\displaystyle Q_{n}}$

Более сложные примеры дистанционно-транзитивных графов:

• граф Джонсона[14]
• граф Грассмана[15]
• граф Хемминга[16][17]
• граф Ливингстона[18]

В 1971 году Н. Биггс и Д. Смит доказали теорему, что среди кубических (тривалентных) графов существует ровно 12 дистанционно-транзитивных графов[19]:

Название графа	Число вершин	Диаметр	Обхват	Массив пересечений
Полный граф K4	4	1	3	{3;1}
Полный двудольный граф K3,3	6	2	4	{3,2;1,3}
Граф гиперкуба ${\displaystyle Q_{3}}$	8	3	4	{3,2,1;1,2,3}
Граф Петерсена	10	2	5	{3,2;1,1}
Граф Хивуда	14	3	6	{3,2,2;1,1,3}
Граф Паппа	18	4	6	{3,2,2,1;1,1,2,3}
Граф додекаэдра	20	5	5	{3,2,1,1,1;1,1,1,2,3}
Граф Дезарга	20	5	6	{3,2,2,1,1;1,1,2,2,3}
Граф Коксетера	28	4	7	{3,2,2,1;1,1,1,2}
Граф Татта — Коксетера	30	4	8	{3,2,2,2;1,1,1,3}
Граф Фостера	90	8	10	{3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}
Граф Биггса — Смита	102	7	9	{3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3}

Все дистанционно-транзитивные графы степени ${\displaystyle k<13}$ известны[20].

Все дистанционно-транзитивных графы степени (валентности) четыре (${\displaystyle k=4}$) были получены Д. Смитом в 1973-74 годах[21][22], а пятой, шестой и седьмой степеней в 1984 году А. А. Ивановым, А. В. Ивановым и И. А. Фараджевым[23].

В 1986 году А. А. Ивановым и А. В. Ивановым были получены все дистанционно-транзитивные графы степеней от ${\displaystyle k=8}$ до ${\displaystyle k=13}$ [24].

Книги

• Biggs N. Distance-Transitive Graphs // Finite Groups of Automorphisms (англ.). — London & New York: Cambridge University Press, 1971. — Vol. 6. — P. 86—96. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).

• Biggs N. L. Distance-Transitive Graphs // Algebraic Graph Theory (англ.). — 2nd edition. — Cambridge University Press, 1993. — P. 155–163. — 205 p.

• Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-Transitive Graphs // Distance-Regular Graphs (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1989. — P. 214—234.

• Cohen A. M. Distance-transitive graphs // Topics in Algebraic Graph Theory (англ.) / edited by L. W. Beineke, R. J. Wilson. — Cambridge University Press, 2004. — Vol. 102. — P. 222—249. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications).

• Godsil C., Royle G. Distance-Transitive Graphs // Algebraic Graph Theory (англ.). — New York: Springer-Verlag, 2001. — Vol. 207. — P. 66—69. — (Graduate Texts in Mathematics). — doi:10.1007/978-1-4613-0163-9.
• Ivanov A. A., Ivanov A. V. Distance-transitive graphs of valency k, 8 < k < 13 // Algebraic, Extremal and Metric Combinatorics 1986 (англ.) / Deza, M., Frankl, P., & Rosenberg, I. (Eds.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1988. — P. 112—145. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — doi:10.1017/CBO9780511758881.

• Ivanov A. A. Distance-Transitive Graphs and Their Classification (англ.) // Faradžev I. A., Ivanov A. A., Klin M. H., Woldar A. J. Investigations in Algebraic Theory of Combinatorial Objects. Mathematics and Its Applications (Soviet Series) / (eds.). — Dordrecht: Springer, 1994. — Vol. 84. — P. 283—378. — doi:10.1007/978-94-017-1972-8.
• Lauri J., Scapelatto R. Topics in Graph Automorphisms and Reconstruction (англ.). — 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 2016. — 188 p. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — doi:10.1017/CBO9781316669846.

Статьи

• Адельсон-Вельский Г. М., Вейсфелер Б. Ю., Леман А. А., Фараджев И. А. Об одном примере графа, не имеющего транзитивной группы автоморфизмов // Доклады Академии наук. — 1969. — Т. 185, № 5. — С. 975—976.
• Иванов А. А., Иванов А. В., Фараджев И. А. Дистанционно-транзитивные графы степени 5, 6 и 7 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 11. — С. 1704–1718.
• Biggs N. L., Smith D. H. On trivalent graphs (англ.) // Bulletin of the London Mathematical Society. — 1971. — Vol. 3, iss. 2. — P. 155—158. — doi:10.1112/blms/3.2.155.
• Smith D. H. On tetravalent graphs (англ.) // J. Lodon Math. Soc. — 1973. — Vol. 6. — P. 659—662.
• Smith D. H. Distance-transitive graphs of valency four (англ.) // J. Lodon Math. Soc. — 1974. — Vol. 8. — P. 377—384.
• Van Bon J. Finite primitive distance-transitive graphs (англ.) // European Journal of Combinatorics. — 2007. — Vol. 28, iss. 2. — P. 517—532. — doi:10.1016/j.ejc.2005.04.014.

• Weisstein, Eric W. Distance-Transitive Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.