Вписанно-описанный четырёхугольник

Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой[3][6][7][8][9]

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$[10]. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).

Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, h[11]

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности I[7]

${\displaystyle K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.}$

Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадь[12]

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулы[7].

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой

${\displaystyle K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}}$,

где I является центром вписанной окружности[7].

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формуле[7]

${\displaystyle K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.}$

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулой[7]

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

где θ является любым из углов между диагоналями[13].

Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой

${\displaystyle K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}}$,

где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружности[7].

Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству[14]

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.}$

Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.

Другим неравенством для площади будет[15]^:p.39,#1203

${\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее[13]

${\displaystyle K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$[15]^:p.39,#1203

${\displaystyle 6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$[15]^:p.39,#1203

${\displaystyle 4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$[15]^:p.39,#1203

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

${\displaystyle R\geqslant {\sqrt {2}}r}$,

которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948[21]. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.

Обобщением предыдущего неравенства является[2][22].

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1}$,

где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом[23].

Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяет[24]

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Более того,[15]^:p.39,#1203

${\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

и

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$ [15]^:p.62,#1599

Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулой[1][9][25].

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

Или, эквивалентно,

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольник[26] (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).

Если использовать факт, что ${\displaystyle x^{2}\geqslant 0}$ в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство ${\displaystyle R\geqslant {\sqrt {2}}r.}$ Обобщением неравенства будет[27]

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, что[28].

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$,

где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.

Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенства[29]:

${\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

и

${\displaystyle 4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$,

где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам[27]

${\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

и

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).}$