SHARK

На вход слою диффузии приходят ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$-битных чисел, которые можно рассматривать как элементы над полем ${\displaystyle GF(2^{m})}$. Рассматриваемый слой необходим для создания лавинного эффекта. Этот эффект проявляется в линейном и разностном контекстах:

• Линейный контекст — нет корреляции между линейной комбинации небольшого набора ${\displaystyle m}$-битных входных данных и линейной комбинации небольшого набора (${\displaystyle m}$-битных) выходных данных.
• Разностный контекст — небольшое изменение входных данных влечет значительное изменение данных на выходе, и наоборот, для небольшого изменения выходных данных нужно значительно изменить входные данные[1].

Пусть ${\displaystyle \theta }$ — обратимое линейное преобразование, ${\displaystyle a}$ — элемент поля ${\displaystyle GF(2^{m})}$, ${\displaystyle w_{h}(a)}$ — расстояние Хэмминга, тогда количественно лавинный эффект оценивается числом скачка (англ. branch number) ${\displaystyle B(\theta )={\overset {}{\underset {a\neq 0}{min}}}({\displaystyle w_{h}(a)}+{\displaystyle w_{h}(\theta (a))})}$[1].

Если ${\displaystyle w_{h}(a)=1}$, то ${\displaystyle B\leq n+1}$. ${\displaystyle B=n+1}$ называют оптимальным числом скачка (англ. optimal branch number). В основной статье авторы показали, что с помощью MDS-кодов можно сконструировать обратимое линейное преобразование с оптимальном числом скачка. В реализации используются ${\displaystyle (2n,n,n+1)}$ коды Рида-Соломона[1].

Нелинейные S-блоки обеспечивают защиту от линейного и дифференциального криптоанализов. Одним из важных численных характеристик безопасности шифра служит матрица эксклюзивных ИЛИ (англ. exor table) ${\displaystyle E}$ отображения ${\displaystyle \gamma }$, элементы которой определяются по формуле ${\displaystyle E_{ij}=\sharp (x|\gamma (x)\oplus \gamma (i\oplus x)=j)}$, где ${\displaystyle \sharp }$ — обозначает число удовлетворяющих условию элементов, ${\displaystyle x,i,j}$ — элементы поля ${\displaystyle GF(2^{m})}$. Большие значения элементов матрицы могут привести к восприимчивости шифра к дифференциальной атаке[1].

Авторами были выбраны S-блоки, основанные на отображении ${\displaystyle F(x)=x^{-1}}$ над полем ${\displaystyle GF(2^{m})}$. В этом случае при четном ${\displaystyle m}$ матрица ${\displaystyle E}$ обладает следующими свойствами:

• Дифференциальная 4-стабильность — все элементы матрицы не превосходят 4. В действительности, в каждой строке такой матрицы присутствует ровно один элемент, равный 4, а остальные равны 2 либо 0.
• Минимальное расстояние аффинной функции равно ${\displaystyle 2^{m/2}}$.
• Нелинейный порядок любой линейной комбинации выходных битов равен ${\displaystyle m+1}$[1].

Для того чтобы удалить фиксированные точки ${\displaystyle 0\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle 1\rightarrow 1}$, используется обратимое аффинное преобразование выходных бит[1].

Расписание ключей (англ. key scheduling) позволяет расширить исходный ключ ${\displaystyle K}$, получив ${\displaystyle R+1}$ раундовых ключей ${\displaystyle K_{i}}$. Хорошее планирование позволяет получить раундовые ключи с максимальной энтропией. Авторами предлагаются два способа ввести раундовый ключ:

1. Exor — простое исключающее ИЛИ с входными данными в каждом раунде. Соответствующий алгоритм — SHARK-E.
2. Affine Transformation — aффинное преобразование входных данных, зависящее от ключа. Соответствующий алгоритм — SHARK-A[1].

Вычисляется простое исключающее ИЛИ ${\displaystyle m\cdot n}$ входных бит раунда и ${\displaystyle m\cdot n}$ подключа. Преимущества метода — быстрота и стабильность: никакой ключ не является сильнее или слабее другого. Недостаток метода — энтропия раундового ключа не превосходит ${\displaystyle m\cdot n}$[1].

Пусть ${\displaystyle k_{i}}$ — невырожденная матрица ${\displaystyle n\times n}$ над полем ${\displaystyle GF(2^{m})}$, зависящая от ключа ${\displaystyle K}$ (точнее, от его расширения). Введем ключевую операцию над входными данными следующим образом: ${\displaystyle Y(X)=k_{i}\cdot X\oplus K_{i}}$. Это линейная операция, потому она не вводит слабых ключей. Кроме того, энтропия раундовых ключей увеличивается до ${\displaystyle O(mn^{2})}$. Однако, это довольно дорогая в смысле производительности операция, поэтому авторами предлагается ограничить ${\displaystyle k_{i}}$ на подпространстве диагональных матриц. В этом случае энтропия раундовых ключей становится близкой к ${\displaystyle 2mn}$[1].

В алгоритме SHARK, генерация раундовых ключей осуществляется следующим образом:

1. ${\displaystyle R+1}$ раундовых ${\displaystyle m\cdot n}$-битных ключей ${\displaystyle K_{i}}$ инициализируются первыми ${\displaystyle R+1}$ записями в таблице замещений (англ. substitution table).
2. Матрицы ${\displaystyle k_{i}}$ инициализируются единичными матрицами.
3. Выбранный пользователем ключ конкатенируется сам с собой до тех пор, пока не будет иметь длину ${\displaystyle 2(R+1)mn}$ бит.
4. К полученной в п. 3 последовательности применяется алгоритм SHARK в режиме CFB.
5. Первые ${\displaystyle (R+1)mn}$ бит выходных данных используются для формирования раундовых ключей ${\displaystyle K_{i}}$.
6. Последние ${\displaystyle (R+1)mn}$ бит выходных данных интерпретируются как ${\displaystyle (R+1)n}$ элементов поля ${\displaystyle GF(2^{m})}$, и формируют диагональные элементы матриц ${\displaystyle k_{i}}$. Если какой-нибудь элемент равен нулю, то он отбрасываются, а все следующие элементы сдвигаются вниз на единицу. Дополнительные зашифрованные нулевые строки добавляются в конец, чтобы заполнить оставшиеся диагональные элементы[1].

Механизм генерации подключей в принципе позволяет использовать ключ длины ${\displaystyle 2(R+1)mn}$ бит, но авторы рекомендуют использовать ключ, не превышающий 128 бит[1].

Для того, чтобы добиться высокой производительности, слой диффузии и блоки подстановок объединяются в одну операцию[1]. Пусть ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ обозначают входные данные раунда; ${\displaystyle Y_{1},...,Y_{n}}$ — выходные данные; ${\displaystyle S_{1},...,S_{n}}$ — матрицы перестановок (S-блоки); ${\displaystyle A}$ — матрица, определяющая слой диффузии; ${\displaystyle \oplus }$ и ${\displaystyle \cdot }$ — обозначают сложение и умножение над полем ${\displaystyle GF(2^{n})}$. Тогда

${\displaystyle {\begin{pmatrix}Y_{1}\\...\\Y_{n}\end{pmatrix}}=A\cdot {\begin{pmatrix}S_{1}[X_{1}]\\...\\S_{n}[X_{n}]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}\\...\\a_{n1}\end{pmatrix}}\cdot S_{1}[X_{1}]\oplus ...\oplus {\begin{pmatrix}a_{1n}\\...\\a_{nn}\end{pmatrix}}\cdot S_{n}[X_{n}]={\begin{pmatrix}a_{11}\cdot S_{1}[X_{1}]\\...\\a_{n1}\cdot S_{1}[X_{1}]\end{pmatrix}}\oplus ...\oplus {\begin{pmatrix}a_{1n}\cdot S_{n}[X_{n}]\\...\\a_{nn}\cdot S_{n}[X_{n}]\end{pmatrix}}}$

Используя расширенные таблицы замещений ${\displaystyle T_{i}}$ размерности ${\displaystyle m\times mn}$, определяемые по формуле ${\displaystyle T_{i}[X]={\begin{pmatrix}a_{1i}\cdot S_{i}[X_{i}]\\...\\a_{ni}\cdot S_{i}[X_{i}]\end{pmatrix}}}$, можно записать преобразование в простом виде: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Y_{1}\\...\\Y_{n}\end{pmatrix}}=T_{1}[X_{1}]\oplus T_{2}[X_{2}]\oplus ...\oplus T_{n}[X_{n}]}$

Таким образом, один раунд требует ${\displaystyle n}$ поисков по таблице и ${\displaystyle n-1}$ бинарных операций. Однако, из-за того что при длине блока ${\displaystyle 8n}$ бит таблицы занимают ${\displaystyle n^{2}\times 256}$ байт, алгоритм для блоков длины 128 бит и более оказывался неэффективным для большинства процессоров того времени (1996 год), отсюда происходит существующее ограничение на длину блока в 64 бит (${\displaystyle n=8,m=8}$)[2].

Для ${\displaystyle n=8}$ можно построить матрицу, определяющую слой диффузии, на основе кода Рида-Соломона[2].

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}CE&E7&B9&D0&52&87&74&0B\\95&FE&DA&9D&A9&28&51&31\\57&05&4D&26&07&3A&15&7F\\82&D2&D1&2C&6C&5A&CF&86\\8A&52&9E&5D&B9&F4&09&BE\\19&C1&17&9F&8F&33&A4&05\\B0&88&83&6D&70&0B&62&83\\01&F1&86&75&17&6C&09&34\end{pmatrix}}}$