Фальшивая проективная плоскость

Севери задал вопрос, существуют ли комплексные поверхности, гомеоморфные проективной плоскости, но не биголоморфные ей. Яу[1] показал, что таких поверхностей нет, так что ближайшей аппроксимацией к проективной плоскости могли бы быть поверхности с теми же числами Бетти ${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,0,1,0,1)}$, что и у проективной плоскости.

Первый пример нашёл Мамфорд[2] с помощью p-адической униформизации, которую ввели независимо Курихара и Мустафин. Мамфорд также заметил, что из результата Яу и теоремы Вейля о жёсткости компактных подгрупп группы PU(1,2), следует, что существует лишь конечное число фальшивых проективных плоскостей. Исида и Като[3] нашли ещё два примера используя похожие методы, а Ким[4] нашёл пример с автоморфизмом порядка 7, который бирационален к циклическому покрытию степени 7 поверхности Долгачёва. Прасад и Йен[5][6] нашли системный путь классификации всех фальшивых проективных плоскостей показав, что существует двадцать восемь классов, каждый из которых содержит по меньшей мере один пример фальшивой проективной плоскости с точностью до изометрии, и что могут существовать пять других классов, но позднее было показано, что таких классов нет. Задача перечисления всех фальшивых проективных плоскостей сводится к перечислению всех подгрупп подходящего индекса явно заданной решётки, ассоциированной с каждым классом. Путём расширения этих вычислений Картрайт и Стэгер[7] показали, что двадцать восемь классов исчерпывают все возможности для фальшивых проективных плоскостей и что в общей сложности имеется 50 примеров, определённых с точностью до изометрии, или 100 фальшивых проективных плоскостей биголоморфизмов.

Поверхность общего вида с теми же числами Бетти, что и у минимальной поверхности не общего типа, должна иметь числа Бетти либо проективной плоскости P², либо квадрата P¹×P¹. Шавел[8] сконструировал некоторые «фальшивые квадрики» — поверхности общего типа с теми же числами Бетти, что и у квадрик. Поверхности Бовиля дают дальнейшие примеры.

Аналоги фальшивых проективных поверхностей в более высоких размерностях называются фальшивыми проективными пространствами.

Как следствие работы Обена и Яу по решению гипотезы Калаби в случае отрицательной кривизны Риччи[1][9], любая фальшивая проективная плоскость является фактором комплексного единичного шара по дискретной подгруппе, которая является фундаментальной группой фальшивой проективной плоскости. Эта фундаментальная группа должна, таким образом, не иметь кручения и быть кокомпактной дискретной подгруппой группы PU(2,1) с характеристикой Эйлера — Пуанкаре 3. Клинглер[10] и Йен[11] показали, что эта фундаментальная группа должна также быть арифметической группой. Из результатов Мостового о строгой жёсткости следует, что фундаментальная группа определяет фальшивую плоскость в строгом смысле, а именно, что любая компактная поверхность с той же фундаментальной группой должна быть изометрична ей.

Две фальшивые проективные плоскости считаются того же самого класса, если их фундаментальные группы содержатся в той же самой максимальной арифметической подгруппе автоморфизмов единичного шара. Прасад и Йен[5][6] использовали формулу объёма Прасада[12] для арифметических групп для списка 28 непустых классов фальшивых проективных плоскостей и показали, что может существовать не более пяти других классов, которые, скорее всего не существуют (см. приложение статьи, в которой классификация была обновлена и были исправлены некоторые ошибки исходной статьи).

Картрайт и Стэгер[7] проверили, что эти дополнительные классы действительно не существуют, и перечислили все возможности внутри двадцати восьми классов. Существует в точности 50 фальшивых проективных плоскостей с точностью до изометрии, а потому 100 различных фальшивых проективных плоскостей с точностью до биголоморфизма.

Фундаментальная группа фальшивой проективной плоскости является арифметической подгруппой группы PU(2,1). Будем обозначать через k ассоциированное числовое поле (полностью вещественное) и через G ассоциированную k-форму группы PU(2,1). Если l — квадратичное расширение поля k, над которым G является внутренней формой, то l является полностью мнимым полем. Существует алгебра с делением D с центром l и степенью над l 3 или 1, c инволюцией второго вида, которая ограничивается до нетривиального автоморфизма l над k, и нетривиальной эрмитовой формой на модуле над D размерности 1 или 3, такой что G является специальной унитарной группой этой эрмитовой формы. (Как следствие работы Прасада и Йена[5], а также работы Картрайта и Стэгера, D имеет степень 3 над l, а модуль имеет размерность 1 над D.) Существует одно вещественное место поля k, такое что точки формы G образуют копию группы PU(2,1), над всеми остальными вещественными местами поля k они образуют компактную группу PU(3).

Из результата Прасада и Йена[5] следует, что группа автоморфизмов фальшивой проективной плоскости либо является циклической группой порядка 1, 3 или 7, либо нециклической группой порядка 9, либо неабелевой группой порядка 21. Факторы фальшивых проективных плоскостей по этим группам изучали Ким[13], Картрайт и Стэгер[7].

k	l	T	Индекс	Фальшивые проективные плоскости
Q	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {-1}})}$	5	3	3 фальшивых плоскости в 3 классах
	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {-2}})}$	3	3	3 фальшивых плоскости в 3 классах
	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {-7}})}$	2	21	7 фальшивых плоскостей в 2 классах. Один из этих классов содержит примеры Мамфорда и Кима.
		2, 3	3	4 фальшивые плоскости в 2 классах
		2, 5	1	2 фальшивые плоскости в 2 классах
	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {-15}})}$	2	3	10 фальшивых плоскостей в 4 классах, включая примеры, найденные Исидой и Като.
	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {-23}})}$	2	1	2 фальшивые плоскости в 2 классах
${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {2}})}$	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {-7+4{\sqrt {2}}}})}$	2	3	2 фальшивые плоскости в 2 классах
${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {5}})}$	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {5}},\zeta _{3})}$	2	9	7 фальшивых плоскостей в 2 классах
${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {6}})}$	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {6}},\zeta _{3})}$	2 или 2,3	1 или 3 или 9	5 фальшивых плоскостей в 3 классах
${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {7}})}$	${\displaystyle \mathrm {Q} ({\sqrt {7}},\zeta _{4})}$	2 или 3,3	21 или 3,3	5 фальшивых плоскостей в 3 классах

• k является полностью вещественным полем.
• l является полностью мнимым квадратичным расширением поля k, а ζ₃ — кубический корень из 1.
• T является множеством простых чисел поля k, где некоторая локальная подгруппа не является гиперсферичной.
• индекс — это индекс фундаментальной группы в некоторой арифметической группе.

• Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes // Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348, вып. 1. — С. 11–13. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
• Masa-Nori Ishida, Fumiharu Kato. The strong rigidity theorem for non-Archimedean uniformization // The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. — 1998. — Т. 50, вып. 4. — С. 537–555. — doi:10.2748/tmj/1178224897.
• JongHae Keum. A fake projective plane with an order 7 automorphism // Topology. an International Journal of Mathematics. — 2006. — Т. 45, вып. 5. — С. 919–927. — doi:10.1016/j.top.2006.06.006.
• JongHae Keum. Quotients of fake projective planes // Geometry & Topology. — 2008. — Т. 12, вып. 4. — С. 2497–2515. — doi:10.2140/gt.2008.12.2497. — arXiv:0802.3435.
• Bruno Klingler. Sur la rigidité de certains groupes fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complexes, et les faux plans projectifs // Inventiones Mathematicae. — 2003. — Т. 153, вып. 1. — С. 105–143. — doi:10.1007/s00222-002-0283-2.
• Куликов В. С., Харламов. В. М. О вещественных структурах на жестких поверхностях // Изв. РАН.. — 2002. — Т. 66, вып. 1. — С. 133–152.
• David Mumford. An algebraic surface with K ample, (K²)=9, p_g=q=0 // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1979. — Т. 101, вып. 1. — С. 233–244. — doi:10.2307/2373947. — .
• Gopal Prasad. Volumes of S-arithmetic quotients of semi-simple groups // Publications Mathématiques de l'IHÉS. — 1989. — Вып. 69. — С. 91–117.
• Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Fake projective planes // Inventiones Mathematicae. — 2007. — Т. 168, вып. 2. — С. 321–370. — doi:10.1007/s00222-007-0034-5. — arXiv:math/0512115.
• Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Addendum to «Fake projective planes» // Inventiones Mathematicae. — 2010. — Т. 182, вып. 1. — С. 213–227. — doi:10.1007/s00222-010-0259-6.
• Remy R. Covolume des groupes S-arith meiques et faux plans projectifs, (d’apres Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) // —. — 2007. — Т. 984. Архивировано 9 июня 2011 года.
• Ira H. Shavel. A class of algebraic surfaces of general type constructed from quaternion algebras // Pacific Journal of Mathematics. — 1978. — Т. 76, вып. 1. — С. 221–245. — doi:10.2140/pjm.1978.76.221.
• Shing Tung Yau. Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — National Academy of Sciences, 1977. — Т. 74, вып. 5. — С. 1798–1799. — doi:10.1073/pnas.74.5.1798. — .
• Shing Tung Yau. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1978. — Т. 31, вып. 3. — С. 339–411. — doi:10.1002/cpa.3160310304.
• Sai-Kee Yeung. Integrality and arithmeticity of co-compact lattice corresponding to certain complex two-ball quotients of Picard number one // The Asian Journal of Mathematics. — 2004. — Т. 8, вып. 1. — С. 107–129. — doi:10.4310/ajm.2004.v8.n1.a9.
• Sai-Kee Yeung. Classification of fake projective planes // Handbook of geometric analysis, No. 2. — Int. Press, Somerville, MA, 2010. — Т. 13. — С. 391–431. — (Adv. Lect. Math. (ALM)).

• Gopal Prasad. Fake Projective spaces.