Модуль без кручения

Модуль без кручения — модуль $M$ над кольцом $K$ , такой что из равенства $\alpha x=0$ , где $\alpha$ — элемент $K$ , не являющийся делителем нуля, и $x\in M$ , следует $\alpha =0$ или $x=0$ .

Примеры

Целостное кольцо $K$ как $K$ -модуль, а также все его ненулевые левые идеалы являются модулями без кручения.
Модуль M над коммутативным кольцом K с полем частных Q является модулем без кручения тогда и только тогда, когда Tor₁(Q/K,M) = 0. В частности, все плоские модули являются модулями без кручения.
Единственные модули без кручения над областью главных идеалов — это свободные модули.

Свойства

Подмодуль модуля без кручения, а также прямая сумма и прямое произведение модулей без кручения — также модуль без кручения.
Если кольцо $K$ коммутативно, то для любого модуля $M$ определен подмодуль

кручения

Tor(M)=\{x\in M:\exists \alpha \in K,\alpha \not =0,\alpha x=0\}.

Тогда фактормодуль $M/Tor(M)$ является модулем без кручения.

См. также

Кручение (алгебра)

Ссылки

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Torsion-free_module, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
Matlis, Eben (1972), Torsion-free modules, The University of Chicago Press, Chicago-London, MR0344237.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.