Арифметическая группа

Если ${\displaystyle \mathrm {G} }$ является алгебраической подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ для некоторого ${\displaystyle n}$, то мы можем определить арифметическую подгруппу группы ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ как группу целых точек ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$. В общем случае не очевидно, как точно определить понятие «целых точек» ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-группы, а подгруппа, определённая выше, может меняться, если мы возьмём другое вложение ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Тогда лучшее определение понятия — взять в качестве определения арифметической подгруппы группы ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ любую группу ${\displaystyle \Lambda }$, которая соизмерима (это значит, что как ${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$, так и ${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$ являются конечными множествами) с группой ${\displaystyle \Gamma }$, определённой выше (с учётом любого вложения в ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$). По этому определению с алгебраической группой ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ассоциирован набор «дискретных» подгрупп, соизмеримых друг с другом.

Естественным обобщением вышеприведённого построения является следующее: пусть ${\displaystyle F}$ — числовое поле с кольцом целых ${\displaystyle O}$, а ${\displaystyle \mathrm {G} }$ — алгебраическая группа над ${\displaystyle F}$. Если нам задано вложение ${\displaystyle \rho$ :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}} , определённое над ${\displaystyle F}$, то подгруппа ${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$ может быть с полным основанием названа арифметической группой.

С другой стороны, класс групп, полученных таким образом, не больше, чем класс арифметических групп, определённых выше. Более того, если мы рассмотрим алгебраическую группу ${\displaystyle \mathrm {G} '}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, полученную ограничением скаляров из ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, и ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-вложение ${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$, порождённое ${\displaystyle \rho }$ (где ${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$), то группа, построенная выше, совпадает с ${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$.

Решётка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным кообъёмом. Терминология, представленная выше, сцеплена с этой, поскольку теорема, принадлежащая Борелю и Хариш-Чандре, утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъём (дискретность очевидна).

Теорема более точна, она утверждает, что арифметическая решётка является кокомпактной тогда и только тогда, когда «форма» группы ${\displaystyle G}$, используемая для её определения (т.е. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-группа ${\displaystyle \mathrm {G} }$) анизотропна. Например, арифметическая решётка, ассоциированная с квадратичной формой от ${\displaystyle n}$ переменных над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, будет кокомпактной в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль в любой точке на ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$.

Блистательный результат, полученный Маргулисом, является частичным обращением теоремы Бореля — Хариш-Чандры: для определённых групп любая решётка является арифметической. Этот результат верен для всех неприводимых решёток в полупростых группах Ли вещественного ранга, большего двух[12][13]. Например, все решётки в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ являются арифметическими, если ${\displaystyle n\geqslant 3}$. Главным новым элементом, который использовал Маргулис для доказательства теоремы, была супержёсткость решёток в группах высокого ранга, которую он доказал для получения своего результата.

Неприводимость играет роль, только если ${\displaystyle G}$ имеет множитель с вещественным рангом единица (в противном случае теорема выполняется всегда) и не проста. Это означает, что для любого разложения ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ решётка несоизмерима с произведением решёток в каждом множителе ${\displaystyle G_{i}}$. Например, решётка ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ неприводима, в то время как ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ таковой не является.

Теорема Маргулиса об арифметичности (и супержёсткости) выполняется для некоторых групп Ли ранга 1, а именно ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ для ${\displaystyle n\geqslant 1}$ и исключительной группы ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$[14][15]. Известно, что теорема не выполняется для всех групп ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ для ${\displaystyle n\geqslant 2}$ и для ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ при ${\displaystyle n=1,2,3}$. Не известны неарифметические решётки в группах ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$, если ${\displaystyle n\geqslant 4}$.

Арифметическая фуксова группа строится из следующих данных: чисто вещественное числовое поле ${\displaystyle F}$, алгебра кватернионов ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle F}$ и порядок ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ в ${\displaystyle A}$. Требуем, чтобы для одного вложения ${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$ алгебра ${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$ была изоморфна матричной алгебре ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$, а все остальные должны быть изоморфны кватернионам Гамильтона. Тогда группа единиц ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ является решёткой в ${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$, которая изоморфна ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ и кокомпактна во всех случаях, за исключением случаев, когда ${\displaystyle A}$ является матричной алгеброй над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Все арифметические решётки в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ получаются таким образом (с точностью до соизмеримости).

Арифметические кляйновы группы строятся аналогично, за исключением того, что от ${\displaystyle F}$ требуется наличие в точности одного комплексного места, а для всех вещественных мест ${\displaystyle A}$ должны быть кватернионами Гамильтона. Они исчерпывают все арифметические классы соизмеримости в ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Для любой простой полупростой группы Ли ${\displaystyle G}$, теоретически, возможно классифицировать (с точностью до соизмеримостью) все арифметические решётки в ${\displaystyle G}$, аналогично случаям ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$, описанным выше. Это сводится к классификации алгебраических групп, вещественные точки которых изоморфны с точностью до компактного множителя группе ${\displaystyle G}$[13].

Конгруэнтная подгруппа является (грубо говоря) подгруппой арифметической группы, определённой выбором всех матриц, удовлетворяющих некоторым уравнениям по модулю целого числа, например, выбором группы 2 х 2 целочисленных матриц с диагональными (соответственно, внедиагональными) элементами, конгруэнтными 1 (соответственно, 0) по модулю положительного целого числа. Они всегда являются подгруппами конечного индекса, а задача о конгруэнтной подгруппе, грубо говоря, спрашивает, получаются ли все подгруппы таким образом. Гипотеза (обычно приписываемая Серру), утверждает, что это верно для (неприводимых) решёток в группах высокого ранга и неверно для групп ранга единица. Гипотеза остаётся открытой в такой общности, но имеется много результатов, устанавливающую верность гипотезы для конкретных решёток (для положительного и отрицательного случаев).

Формальное определение ${\displaystyle S}$-арифметической группы для конечного множества простых чисел ${\displaystyle S}$ такое же, что и для арифметических групп с ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$, заменённым на ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$, где ${\displaystyle N}$ является произведением простых в ${\displaystyle S}$.

Теорема Бореля — Хариш-Чандры обобщается на ${\displaystyle S}$-арифметические группы следующим образом: если ${\displaystyle \Gamma }$ является ${\displaystyle S}$-арифметической группой группы в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-алгебраической группе ${\displaystyle \mathrm {G} }$, то ${\displaystyle \Gamma }$ является решёткой в локально компактной группе

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

Арифметические группы со свойством (T) Каждана или более слабым свойством (${\displaystyle \tau }$) Любоцкого и Циммера можно использовать для построения экспандеров (Маргулис) или чётных графов Рамануджана (Любоцкий — Филлипс — Сарнак[16][17]). Известно, что такие графы существуют в изобилии согласно вероятностным доводам, но явная природа таких построений делают их интересными.

Известно, что конгруэнтность накрытий арифметических поверхностей приводит к поверхностям с большим радиусом инъективности[18]. Подобным же образом графы Рамануджана, построенные Любоцким, Филлипсом и Сарнаком, имеют большой обхват. Известно, что из свойства Рамануджана вытекает, что локальные обхваты графа почти всегда большие[19].

Арифметические группы могут быть использованы для построения изоспектральных многообразий. Впервые это построение реализовала Мари-Франс Винера[20] и вскоре после этого появились различные варианты её построения. Задача изоспектральности является, фактически, очень пригодной для изучения в ограниченных условиях арифметических многообразий[21].

Ложная проективная плоскость[22] — это комплексная поверхность, которая имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$, но не биголоморфна ей. Первый пример такой плоскости нашёл Мамфорд. Согласно труду Клинглера (независимо проверенного Енгом) все они являются факторпространствами 2-шара по арифметическим решёткам в ${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$. Возможные решётки классифицировали Прасад и Енг, а завершили классификацию Картрайт и Стигер, проверившие, что они действительно соответствуют ложным проективным плоскостям.