Ограничение Вейля

Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L. Функтор ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}$ из k-схем^op в множества определяется выражением

${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(В частности, k-рациональные точки многообразия ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}$ являются L-рациональными точками многообразия X.) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L ${\displaystyle \to }$ Spec k и сопряжёно справа расслоенному произведению схем, так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов, а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.

Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.

При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм ${\displaystyle T\to S}$ алгебраических пространств даёт функтор ограничения скаляров, который переводит алгебраические стеки в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.

1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}}$(Spec L) = Spec(k) и ${\displaystyle Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$ является s-мерным аффинным пространством ${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$ над Spec k.

2) Если X является аффинным L-многообразием, определённым выражением

${\displaystyle X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

мы можем записать ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}$ как Spec ${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$, где y_i,j (${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$) новые переменные, а g_l,r (${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$) является многочленом от ${\displaystyle y_{i,j}}$ получаемый выбором k-базиса ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{s}}$ расширения L и полагая ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s}}$ и ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s}}$.

3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит групповые схемы в групповые схемы.

В частности:

4) Тор

${\displaystyle \mathbb {S}$ :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}} ,

где G_m означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку таннакиева категория вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S. Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$. См. Группа Мамфорда–Тейта.

5) Ограничение Вейля ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$ (коммутативного) группового многообразия ${\displaystyle \mathbb {G} }$ снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности ${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} }$, если L сепарабельно над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ и ${\displaystyle L=\mathbb {C} }$ с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k. Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.

7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на многообразии Якоби гиперболической кривой над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A-алгеброй.