Можно ли услышать форму барабана?

«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса, восходящий к Герману Вейлю.

Первый пример двух неконгруэнтных барабанов, звучащих одинаково. Обратите внимание, что фигуры имеют равные площади и периметры

Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?

Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца, опубликованной в 1966 году[1]. Эта статья популяризовала вопрос и таким образом сыграла заметную роль в развитии математики на несколько десятилетий. За неё Кац был удостоен премии Форда в 1967 году и премии Шовенэ в 1968 году[2].

Формулировка

Барабан мыслится как плоская область $D$ , граница которой фиксирована. Обозначим через $\lambda _{n}$ её n-ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения $\lambda$ , для которых существует функция $u\colon D\to \mathbb {R}$ такая, что

{\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0,\\u|_{\partial D}=0.\end{cases}}

Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.

Поэтому вопрос можно переформулировать так:

Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?

Вариации

Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака. Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана.

Ответы

Плоские торы

Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.

Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».

Области на плоскости

Однопараметрическое семейство пар изоспектральных барабанов. Каждый из двух барабанов составлен из 7 равных треугольников[3]

В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).

Доказательство того, что оба региона имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.

Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».

Частные случаи

Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.

Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
Тоже верно и для периметров, при условии, что область выпукла её граница аналитическая.
- Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
Известно, что множество изоспектральных областей компактно в $C^{\infty }$ -топологии.
По теореме сравнения Чжэна сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.

Примечания

Kac, Mark. Can One Hear the Shape of a Drum? (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1966. — April (vol. 73, no. 4, part 2). — P. 1—23. — doi:10.2307/2313748. — .
Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America
Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter & Semmler, Klaus-Dieter (1994), Some planar isospectral domains, International Mathematics Research Notices Т. 9: 391ff

Литература

Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.

Ссылки

Some planar isospectral domains by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
Weisstein, Eric W. Isospectral Manifolds (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Benguria, Rafael D. (2001), Dirichlet eigenvalue, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Kac, Mark. Can One Hear the Shape of a Drum? (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1966. — April (vol. 73, no. 4, part 2). — P. 1—23. — doi:10.2307/2313748. — .

[2] Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America

[3] Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter & Semmler, Klaus-Dieter (1994), Some planar isospectral domains, International Mathematics Research Notices Т. 9: 391ff