Убывающие и возрастающие факториалы

Несколько первых возрастающих факториалов:

${\displaystyle x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1}$

${\displaystyle x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x}$

${\displaystyle x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x}$

${\displaystyle x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x}$

${\displaystyle x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x}$

Несколько первых убывающих факториалов:

${\displaystyle (x)_{0}=x^{\underline {0}}=1}$

${\displaystyle (x)_{1}=x^{\underline {1}}=x}$

${\displaystyle (x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x}$

${\displaystyle (x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x}$

${\displaystyle (x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x}$

Коэффициенты, получающиеся при раскрытии скобок, являются числами Стирлинга первого рода.

Возрастающий и убывающий факториалы можно использовать для выражения биномиальных коэффициентов:

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$ и ${\displaystyle {\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.}$

Тогда многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на возрастающие и убывающие факториалы.

Возрастающий факториал можно выразить через убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

${\displaystyle x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},}$

или как убывающий факториал с противоположным аргументом,

${\displaystyle x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.}$

Возрастающий и убывающий факториалы вполне определены в любом унитальном кольце, а потому x может быть, например, комплексным числом, отрицательным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой комплексной функцией.

Возрастающий факториал можно расширить на вещественные значения n с помощью гамма-функции:

${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},}$

и таким же образом убывающий факториал:

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.}$

Если обозначить через D взятие производной от x, получим

${\displaystyle D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{a-n}.}$

Символ Похгаммера является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции — гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 степенным рядом

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}}$

при условии, что c не равно 0, −1, −2, ... . Заметим, однако, что в литературе о гипергеометрической функции для возрастающего факториала используется обозначение ${\displaystyle {(a)}_{n}}$.

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора конечной разности ${\displaystyle \vartriangle }$ и которая формально подобна теореме Тейлора. В этой формуле и многих других местах убывающий факториал ${\displaystyle (x)_{k}}$ при вычислении конечных разностей играет роль ${\displaystyle x^{k}}$ при вычислении производной. Заметим, например, похожесть

${\displaystyle \Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},}$

на

${\displaystyle Dx^{k}=k\ x^{k-1},}$

Похожие факты имеют место для возрастающих факториалов.

Изучение аналогий этого типа известно как «теневое исчисление»[10]. Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории последовательностей многочленов биномиального типа и последовательностей Шеффера. Возрастающие и убывающие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, что показывают следующие соотношения:

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}}$

${\displaystyle (a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{n-j}(b)_{j}}$

где коэффициенты те же самые, что и при разложении в степенной ряд биномиального тождества Вандермонда).

Аналогично, генерирующая функция многочленов Похгаммера тогда равна сумме теневых экспонент,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x}~,}$

так как ${\displaystyle \vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}}$.

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом с помощью чисел Лаха и с помощью сумм целых степеней переменной ${\displaystyle x}$, используя числа Стирлинга второго рода, следующим образом (здесь ${\displaystyle {\binom {r}{k}}=r^{\underline {k}}/k!}$):[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}={\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n}}}}\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)^{\underline {n-k}}\times x^{\underline {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {-n}}}}\\&={\binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\n-k\end{matrix}}\right\}x^{\underline {n-k}}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}(x)_{k}.\end{aligned}}}$

Поскольку убывающие факториалы являются базисом для кольца многочленов, мы можем выразить произведение двух из них в виде линейной комбинации убывающих факториалов:

${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_{m+n-k}.}$

Коэффициенты при ${\displaystyle (x)_{m+n-k}}$ называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов склеить k элементов из множества из m элементов и множества из n элементов. Мы имеем также формулу связи для отношения двух символов Похгаммера

${\displaystyle {\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{n-i},\ n\geq i.}$

Кроме того, мы можем расширить обобщённое правило степеней и отрицательные возрастающие и убывающие степени с помощью следующих тождеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(x-n)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {n}}}}\\x^{\underline {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}={\frac {1}{n!{\binom {x+n}{n}}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}.\end{aligned}}}$

Наконец, формула удвоения и формулы умножения для возрастающих факториалов дают следующие отношения:

${\displaystyle (x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+k}{m}}\right)_{n},\ m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle (ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x}}\right)_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle (2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.}$

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала

${\displaystyle x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factors} }}$ для целого ${\displaystyle m\geq 0,}$

И для убывающего факториала

${\displaystyle x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factors} }}$ для целого ${\displaystyle m\geq 0;}$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно[12]. Грэм, Кнут и Паташник[13] предложили произносить это выражение как "повышение x на m" и "понижение x на m" соответственно.

Другие обозначения для убывающего факториала включают ${\displaystyle P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n}}$ или ${\displaystyle _{x}P_{n}}$. (См. статьи «Перестановка» и «Сочетание».)

Альтернативное обозначение ${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$ для возрастающего факториала ${\displaystyle x^{(n)}}$ употребляется реже. Во избежание путаницы в случае, когда используется обозначение ${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$ для возрастающего факториала, для обычного убывающего факториала используется обозначение ${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$[5].

Символ Похгаммера имеет обобщённую версию, называемую обобщённым символом Похгаммера, и используется в многомерном анализе. Имеется также q-аналог, q-символ Похгаммера.

Обобщение убывающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической прогрессии:

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),}$.

Соответствующее обобщение возрастающего факториала

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).}$

Это обозначение объединяет возрастающий и убывающий факториалы, которые равны ${\displaystyle [x]^{\tfrac {k}{1}}}$ и ${\displaystyle [x]^{\tfrac {k}{-1}}}$ соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ и символических параметров ${\displaystyle x,t}$, связанные обобщённые произведения вида

${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$

можно изучать с точки зрения классов обобщённых чисел Стирлинга первого рода, определённых с помощью следующих коэффициентов при ${\displaystyle x}$ в разложении ${\displaystyle (x)_{n,f,t}}$, а затем с помощью следующего рекуррентного соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$

Эти коэффициенты удовлетворяют многочисленным свойствам, аналогичным свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным отношениям и функциональным равенствам, связанным с f-гармоничными числами ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r}}$[14].

• k-символ Похгаммера
• Тождество Вандермонда

• Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Elementary Proofs