Теневое исчисление

Метод является процедурой обозначений, используемых для получающихся тождеств, вовлекающих индексированные последовательности чисел, предполагая, что индексы являются степенями. Буквальное использование абсурдно, но работает успешно — тождества, полученные с помощью теневого исчисления, могут быть должным образом получены с помощью более сложных методов, которые могут быть использованы буквально без логических трудностей.

Пример использует многочлены Бернулли. Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальные коэффициенты):

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}}$

и удивительно похоже выглядящее соотношение для многочленов Бернулли:

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.}$

Также сравним первую производную

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

с очень похожим отношением для многочленов Бернулли:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

Эти сходства позволяют построить теневые доказательства, которые, на первый взгляд, не могут быть верны, но всё же работают. Так, для примера, если считать, что индекс ${\displaystyle n-k}$ является степенью:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},}$

после дифференцирования получаем желаемый результат:

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

В формулах выше ${\displaystyle b}$ является «umbra» (латинское слово, обозначающее «тень»).

См. также Формула Фаульхабера.

Похожие связи наблюдались также в теории конечных разностей. Теневая версия ряда Тейлора задаётся подобными выражениями, использующими ${\displaystyle k}$-ые правосторонние разности ${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$ многочлена ${\displaystyle f}$,

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!}}(x)_{k}}$

где

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

— символ Похгаммера, используемый здесь для обозначения убывающего факториала. Похожее соотношение имеет место для левосторонних разностей и возрастающих факториалов.

Эти ряды известны также как ряды Ньютона или правостороннее разложение Ньютона. Аналог разложения Тейлора используется в исчислении конечных разностей.

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументацию логически строгой. Джон Риордан, работавший в области комбинаторики, в своей книге Combinatorial Identities (Комбинаторные тождества), опубликованной в 1960-х годах, использовал данную технику интенсивно.

Другой учёный в области комбинаторики, Джиан-Карло Рота, указал на то, что таинственность исчезает, если рассматривать линейный функционал ${\displaystyle L}$ над многочленами от ${\displaystyle z}$, определённый как

${\displaystyle L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.}$

Тогда, используя определение многочленов Бернулли и определение линейности ${\displaystyle L}$, можно записать

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\right).}$

Это позволяет заменить вхождение ${\displaystyle B_{n}(x)}$ на ${\displaystyle L((z+x)^{n})}$, то есть перенести ${\displaystyle n}$ из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневых исчислений). Например, мы можем теперь доказать, что

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}}$

путём разложения правой части

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).}$

Рота позднее утверждал, что много путаницы получились из-за неудач в различении трёх отношений эквивалентности, которые возникают в этой области.

В статье 1964 года Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, которой удовлетворяют числа Белла, которые подсчитывают число разбиений конечных множеств.

В статье Романа и Роты[3] теневое исчисление описывается как изучение теневой алгебры (umbral algebra), определённой как алгебра линейных функционалов над векторным пространством многочленов от ${\displaystyle x}$ с произведением ${\displaystyle L_{1}L_{2}}$ линейных функционалов, определённым как

${\displaystyle \langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{n-k}\rangle .}$

Если последовательность многочленов заменяет последовательность чисел как образы ${\displaystyle y^{n}}$ при линейном отображении ${\displaystyle L}$, теневой метод выглядит как существенная составляющая общей теории Рота специальных многочленов и эта теория является теневым исчислением при некоторых более современных определениях этого термина[4]. Небольшой пример этой теории можно найти в статье о последовательности многочленов биномиального типа. Другая статья — Последовательность Шеффера.

Позднее Рота применял теневое исчисление интенсивно в совместной статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств полуинвариантов[5].

• Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A. Di Bucchianico, D. Loeb. A Selected Survey of Umbral Calculus // Electronic Journal of Combinatorics. — 2000. — Т. DS3. Архивировано 24 февраля 2012 года.
• Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I