Число Белла

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений $n$ -элементного множества, обозначаемое $B_{n}$ , при этом по определению полагают $B_{0}=1$ .

Значения $B_{n}$ для $n=0,1,2,\dots$ образуют последовательность[1]:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, …

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить $n$ пронумерованных шаров по $n$ идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из $n$ простых множителей[2].

Числа Белла названы в честь Эрика Белла, который писал о них в 1930-х годах.

Математические свойства

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m),

а также задать в рекуррентной форме:

B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского[3]:

B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.

Если $p$ — простое, то верно сравнение Тушара:

B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}

и более общее:

B_{n+p^{m}}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид[4]

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.

Примечания

последовательность A000110 в OEIS
дель Сид, 2014, Числа Белла, с. 105.
Введение в дискретную математику, 2006, с. 202.
Введение в дискретную математику, 2006, с. 200.

Литература

Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — УДК 51(0.062). — ISBN 978-5-9774-0682-6.
Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2006. — 392 с. — ISBN 5-06-005683-X.

Ссылки

Bell, E. T. (1934). “Exponential polynomials”. Annals of Mathematics. 35: 258—277. DOI:10.2307/1968431. JSTOR 1968431..
Bell, E. T. (1938). “The iterated exponential integers”. Annals of Mathematics. 39: 539—557. DOI:10.2307/1968633. JSTOR 1968633..

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] последовательность A000110 в OEIS

[_76a53813aa961baa-2] дель Сид, 2014, Числа Белла, с. 105.

[_a3ff487016469d51-3] Введение в дискретную математику, 2006, с. 202.

[_a3ff487016469d53-4] Введение в дискретную математику, 2006, с. 200.