q-символ Похгаммера

Конечное произведение можно выразить через бесконечное:

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$

что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$

и

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов

${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$,

которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:

${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и Рогова[3] для доказательства):

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$

Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ в

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$

равен числу разбиений m на не более чем n частей.

Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$,

как в разделе выше.

Коэффициент при ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ в

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$

равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.

Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$

также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$ возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, ${\displaystyle p(n)}$, которая также разлагается в следующие два q-ряда[4]:

${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$

Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.

Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с ${\displaystyle (a;q)_{n}}$[4]. Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843)[5].

Принимая во внимание, что

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}$

мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал

${\displaystyle {\big [}n]_{q}!}$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}$
	${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${\displaystyle =1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})}$
	${\displaystyle ={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над полем с одним элементом.

Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^{n(n+1)/2}}}}$

От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}},}$

откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$ для всех ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant n}$.

Можно показать, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$

Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты ${\displaystyle q}$-биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов[6]:

${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$

Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый q-гамма-функцией и определённый как

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$

Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

для любого x и

${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.}$

для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.

• Базисные гипергеометрические ряды
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• Символ Похгаммера
• q-производная
• q-тэта-функция
• Теорема о пятиугольных числах
• Тождества Роджерса — Рамануджана
• Непрерывная дробь Роджерса — Рамануджана
• q-тождество Вандермонда

• Weisstein, Eric W. q-Analog (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Bracket (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Factorial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Binomial Coefficient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.