Профиль Фойгта

Используя приведённое выше определение для z, кумулятивная функция распределения (КФР) может быть найдена следующим образом:

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}$

Подстановка определения функции Фаддеева (масштабированная комплексная функция ошибок) приводит к неопределённому интегралу

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}$

который можно выразить через специальные функции

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

где ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$ — гипергеометрическая функция. Чтобы функция приближалась к нулю, когда x приближается к отрицательной бесконечности (как и должно быть для кумулятивной функции распределения), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это даёт для КФР Фойгта:

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

Если гауссов профиль центрирован в точке ${\displaystyle \mu _{G}}$, а центр лоренцевского профиля — ${\displaystyle \mu _{L}}$, то центральная точка свёртки — ${\displaystyle \mu _{G}+\mu _{L}}$, а характеристическая функция равна

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Медиана также расположена в точке ${\displaystyle \mu _{G}+\mu _{L}}$.

Профили первой и второй производных можно выразить через функцию Фаддеевой следующим образом

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma ,\gamma )=-{\frac {\operatorname {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}};}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }},}$

используя приведённое выше определение для z.

Связать функцию уширения линии с профилем Фойгта можно, используя выражение

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),}$

где

${\displaystyle a=\gamma /({\sqrt {2}}\sigma )}$

и

${\displaystyle u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).}$

Функция Теппера-Гарсиа, названная в честь немецко-мексиканского астрофизика Тора Теппера-Гарсиа, представляет собой комбинацию экспоненциальной функции и рациональных функций, которая аппроксимирует функцию уширения линии ${\displaystyle H(a,u)}$ в широком диапазоне её параметров[1]. Она получается из разложения в усечённого степенного ряда точной функции уширения линии.

С вычислительной точки зрения наиболее эффективная форма записи функции Теппера-Гарсиа принимает вид

${\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}$

где ${\displaystyle P\equiv u^{2}}$, ${\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}$, и ${\displaystyle R\equiv e^{-P}}$.

Таким образом, функция уширения линии может рассматриваться в первом порядке как чистая функция Гаусса плюс поправочный коэффициент, который линейно зависит от микроскопических свойств поглощающей среды (закодированной в параметре ${\displaystyle a}$); однако в результате раннего усечения ряда ошибка такого приближения всё ещё порядка ${\displaystyle a}$, то есть ${\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}$. Это приближение имеет относительную точность

${\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

во всём диапазоне длин волн ${\displaystyle H(a,u)}$, при условии, что ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}$. Помимо высокой точности, функцию ${\displaystyle T(a,u)}$ легко записать, а также быстро вычислить. Она широко используется в области анализа линий поглощения квазаров[2].

Приближение для псевдораспределения Фойгта представляет собой аппроксимацию профиля Фойгта V(x) с использованием линейной комбинации гауссовой кривой G(x) и лоренцевой кривой L(x) вместо их свёртки.

Функция псевдораспределения Фойгта часто используется для расчёта экспериментальных профиля спектральных линий.

Математическое определение нормализованного псевдораспределения Фойгта даётся формулой

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$ с ${\displaystyle 0<\eta <1}$ .

где ${\displaystyle \eta }$ — функцией параметра полной ширины на полувысоте (FWHM).

Есть несколько возможных вариантов выбора параметра ${\displaystyle \eta }$[3][4][5][6]. Простая формула с точностью до 1 %[7][8] даётся

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}$

где ${\displaystyle \eta }$ является функцией Лоренца (${\displaystyle f_{L}}$), Гаусса (${\displaystyle f_{G}}$) и полной (${\displaystyle f}$) ширины на полувысоте (FWHM). Полная ширина (${\displaystyle f}$) описывается формулой

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

Полную ширину на полувысоте (FWHM) профиля Фойгта можно определить по ширине соответствующих ширин расспределений Гаусса и Лоренца. Ширина гауссова профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}$

Ширина лоренцевского профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}$

Грубое приближение для соотношения между ширинами профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца записывается как

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Это приближение в точности верно для чисто гауссовского распределения.

Лучшее приближение с точностью 0,02 % даёт вражение[9]

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Это приближение в точности верно для чисто гауссового профиля, но имеет ошибку около 0,000305 % для чистого лоренцевского профиля.