Функция Фаддеевой

Функция Фаддеевой — это комплексная функция ошибок от комплексного аргумента

w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).

Функция Фаддеевой связана с функцией Доусона, профилем Фогта, интегралом Френеля и появляется в различных физических задачах при описании электромагнитных взаимодействий в средах. Функция впервые была описана и затабулирована в статье В. Н. Фаддеевой и Н. М. Терентьева[1].

Cвойства

Действительная и мнимая части

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают как

w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)

,

где V и L иногда называются действительной и мнимой функциями Фогта, поскольку V(x, y) с точностью до фактора является профилем Фогта. Если рассматривать V(x, y) как профиль поглощения спектральной линии, то L(x, y) является соответствующей ей дисперсионной кривой.

Чётность

При изменении знака аргумента, функция Фаддеевой может быть записана как

w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)

или

w(-z)=w(z^{*})^{*}

,

где * означает комплексное сопряжение.

Интегральное представление

Функция Фаддеевой может быть представлена в виде

w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}dt={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}dt,\qquad \operatorname {Im} z>0

,

то есть как свёртка Гауссовой функции и комплексного лоренцевского профиля.

Примечания

В. Н. Фаддеева, Н. М. Терентьев, Таблицы значений функции w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) от комплексного аргумента, Москва : Гостехиздат, 1954, 268 с

Литература

В. Н. Фаддеева, Н. М. Терентьев (1954), Таблицы значений функции w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) от комплексного аргумента Под ред. акад. В. А. Фока., (Математические таблицы/ Акад. наук СССР. Матем. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние; Вып. 3), Москва: Гостехиздат

Вычислительные ресурсы

libcerf Численная библиотека на C для вычисления комплексных функций ошибок содержит в частности функцию w_of_z(z) (с точностью не хуже 13 знаков), которая также используется для вычислений многих других функций в библиотеке.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] В. Н. Фаддеева, Н. М. Терентьев, Таблицы значений функции w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) от комплексного аргумента, Москва : Гостехиздат, 1954, 268 с