Пример Помпею

Вопрос о том, могут ли существовать такие функции, не являющиеся тождественно нулевыми, возник в контексте исследований функциональной дифференцируемости и интегрируемости в начале 1900-х годов. На этот вопрос утвердительно ответил Димитри Помпейу, построив явный пример.

Пусть ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ обозначает вещественный кубический корень вещественного числа ${\displaystyle x}$. Выберем перечисление рациональных чисел в единичном интервале ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots }$ и положительные числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ такие, что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots <\infty }$

Рассмотрим функцию

${\displaystyle g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j}}}.}$

Для любого x из [0, 1] каждый член ряда меньше или равна a_j по абсолютной величине, так что по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится к непрерывной строго возрастающей функции g(x). Более того, оказывается, что функция g дифференцируема, причем

${\displaystyle g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}]{(x-q_{j})^{2}}}}>0,}$

в любой точке, где сумма конечна; кроме того, во всех остальных точках, в частности, в любом из q_j, g′(x) := +∞.

Поскольку образ g представляет собой замкнутый ограниченный интервал с левым концом

${\displaystyle g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j}}},}$

с точностью до выбора a₀ мы можем считать g(0) = 0 и с точностью до выбора мультипликативного множителя можем считать, что g отображает интервал [0, 1] на себя. Поскольку g строго возрастает, он инъективен и, следовательно, гомеоморфизм.

По теореме о дифференцировании обратной функции обратная к ней функция f := g⁻¹ имеет конечную производную в любой точке, которая обращается в нуль по крайней мере в точках {g(q_j)}_j∈ℕ. Они образуют плотное подмножество [0, 1] (на самом деле производная обнуляется на большем множестве, см. Свойства).

• Поскольку множество нулей производной любой всюду дифференцируемой функции является G-дельта-множеством, для любой функции Помпею это множество является плотным G-дельта-множеством. В частности, по теореме Бэра оно несчетно.
• Линейная комбинация ${\displaystyle a\cdot f+b\cdot g}$ функций Помпею имеет производную и обращается в нуль на множестве ${\displaystyle \{\,x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=g'(x)=0\,\}}$, которое является плотным G-дельта-множеством. Таким образом, функции Помпею образуют векторное пространство.
• Предельная функция равномерно сходящейся последовательности производных Помпею является производной Помпею. Действительно, это производная по теореме о пределе под знаком производной. Более того, она обращается в нуль на пересечении нулевых множеств функций последовательности: поскольку это плотные G-дельта-множества, нулевое множество предельной функции также плотно.
  • Как следствие, класс E всех ограниченных производных Помпею на интервале [a, b] является замкнутым линейным подпространством банахова пространства всех ограниченных функций относительно равномерного расстояния (следовательно, это банахово пространство).
  • Вышеупомянутая конструкция Помпею положительна, что является редким свойством: теорема Вейля утверждает, что в общем случае производная Помпейу принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в точном смысле, что такие функции составляют плотное G-дельта-множество Банахова пространство E.

• Pompeiu, Dimitrie (1907). “Sur les fonctions dérivées”. Mathematische Annalen [фр.]. 63 (3): 326—332. DOI:10.1007/BF01449201. Дата обращения 2021-10-12.
• Andrew M. Bruckner, "Differentiation of real functions"; CRM Monograph series, Montreal (1994).