Опыт Кеннеди — Торндайка

Рисунок 2. Световой путь Кеннеди — Торндайка с использованием перпендикулярных плеч

Хотя сокращение Лоренца — Фицджеральда (лоренцево сокращение) само по себе полностью может объяснить нулевые результаты опыта Майкельсона — Морли, оно само по себе не может объяснить нулевые результаты эксперимента Кеннеди — Торндайка. Сокращение длины Лоренца — Фитцджеральда определяется формулой:

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=L_{0}/{\gamma (v)}}$

где

${\displaystyle L_{0}}$ — правильная длина (длина объекта в его системе покоя),

${\displaystyle L}$ — длина, измеренная наблюдателем, который движется относительно объекта,

${\displaystyle v\,}$ — относительная скорость между наблюдателем и движущимся объектом, то есть между гипотетическим эфиром и движущимся объектом,

${\displaystyle c\,}$ — скорость света

а Лоренц-фактор определяется как

${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ }$

Рис. 2 показывает аппарат Кеннеди — Торндайка с перпендикулярными плечами и учитывает действие лоренцевского сокращения[3]. Если аппарат неподвижен относительно гипотетического эфира, то разница во времени, которое требуется свету для прохождения продольного и поперечного плеч, определяется выражением:

${\displaystyle T_{L}-T_{T}={\frac {2(L_{L}-L_{T})}{c}}}$

Время, которое требуется свету, чтобы пройти вперёд и назад вдоль сокращённого продольного плеча определяется выражением:

${\displaystyle T_{L}=T_{1}+T_{2}={\frac {L_{L}/\gamma (v)}{c-v}}+{\frac {L_{L}/\gamma (v)}{c+v}}={\frac {2L_{L}/\gamma (v)}{c}}{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {2L_{L}\gamma (v)}{c}}}$

где T₁ — время прохождения в направлении движения, T₂ — в обратном направлении, v — составляющая скорости относительно светоносного эфира, c — скорость света, L_L — длина продольного плеча интерферометра. Время, за которое свет проходит через поперечное плечо и обратно, определяется выражением:

${\displaystyle T_{T}={\frac {2L_{T}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {2L_{T}}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {2L_{T}\gamma (v)}{c}}}$

Разница во времени, которое требуется свету для прохождения продольного и поперечного плеч, определяется выражением:

${\displaystyle T_{L}-T_{T}={\frac {2(L_{L}-L_{T})\gamma (v)}{c}}}$

Поскольку ΔL = C(T_L-T_Т), то можно привести следующие различия в длине преодолённым светом (ΔL_A — начальная разность длины пути и V_A — начальная скорость аппарата, и ΔL_B и V_B — те же величины после поворота или изменение скорости из-за собственного вращения Земли или её вращения вокруг Солнца)[4]:

${\displaystyle \Delta L_{A}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\sqrt {1-v_{A}^{2}/c^{2}}}},\qquad \Delta L_{B}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\sqrt {1-v_{B}^{2}/c^{2}}}}}$ .

Чтобы получить отрицательный результат, должно выполняться условие ΔL_A − ΔL_B = 0. Однако можно видеть, что обе формулы сокращаются только при условии равенства скоростей (v_A = v_B). Но если скорости разные, то ΔL_A и ΔL_B уже не равны. На опыт Майкельсона — Морли не влияют изменения скорости, поскольку разница между L_L и L_T равна нулю. Поэтому жтот опыт проверяет, зависит ли скорость света от ориентации аппарата. Но в опяте Кеннеди — Торндайка длины L_L и L_T изначально различны, поэтому он также способен измерять зависимость скорости света от скорости аппарата[2].

В соответствии с предыдущей формулой разность длин пути ΔL_A − ΔL_B и, следовательно, ожидаемый сдвиг полосы ΔN определяются выражением (λ — длина волны):

${\displaystyle \Delta N={\frac {\Delta L_{A}-\Delta L_{B}}{\lambda }}={\frac {2\left(L_{L}-L_{T}\right)}{\lambda }}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v_{A}^{2}/c^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-v_{B}^{2}/c^{2}}}}\right)}$ .

Пренебрегая величинами выше второго порядка по v/c:

${\displaystyle \approx {\frac {L_{L}-L_{T}}{\lambda }}\left({\frac {v_{A}^{2}-v_{B}^{2}}{c^{2}}}\right)}$

Для постоянного ΔN, то есть для того, чтобы сдвиг полосы не зависел от скорости или ориентации аппарата, необходимо, чтобы частота и, следовательно, длина волны λ модифицировались коэффициентом Лоренца. Это соответствует случаю, когда рассматривается влияние замедления времени на частоту. Поэтому, как сокращение длины так и замедление времени требуются для объяснения отрицательного результата опыта Кеннеди — Торндайка.

В 1905 году Анри Пуанкаре и Альберт Эйнштейн показали, что преобразование Лоренца должно образовывать группу, чтобы удовлетворять принципу относительности (см. Историю преобразований Лоренца). Это требует, чтобы сокращение длины и замедление времени имели точные релятивистские значения. Кеннеди и Торндайк теперь утверждали, что они могут получить полное преобразование Лоренца исключительно из экспериментальных данных опытов Майкельсона — Морли и Кеннеди — Торндайка. Но это не совсем правильно, так как сокращение длины и замедление времени, имеющие свои точные релятивистские значения, достаточны, но не необходимы для объяснения обоих экспериментов. Это связано с тем, что сокращение длины исключительно в направлении движения — это только одна возможность объяснить опыта Майкельсона — Морли. В общем, его нулевой результат требует, чтобы отношение между поперечной и продольной длинами соответствовало Лоренц-фактору, который включает бесконечно много комбинаций изменений длины в поперечном и продольном направлениях. Это также влияет на роль замедления времени в опыте Кеннеди — Торндайка, поскольку его значение зависит от величины сокращения длины, используемой при анализе эксперимента. Следовательно, необходимо рассмотреть третий эксперимент, эксперимент Ивеса — Стилвелла, чтобы вывести преобразование Лоренца только из экспериментальных данных[2].

Точнее: в рамках теории тестов Робертсона — Мансури — Сексла[2][5] для описания экспериментов можно использовать следующую схему: α представляет изменения времени, β — изменения длины в направлении движения, δ — изменение длины перпендикулярно направлению движения. Опыт Майкельсона — Морли проверяет взаимосвязь между β и δ, а эксперимент Кеннеди — Торндайка проверяет взаимосвязь между α и β. Таким образом, α зависит от β, которое само зависит от δ, и в этих двух опытах можно измерить только комбинации этих величин, но не их отдельные значения. Для непосредственного измерения значения одной из этих величин необходим ещё один эксперимент. На самом деле это было достигнуто с помощью опыта Ивеса — Стилвелла, в котором было измерено значение α, предсказанное релятивистским замедлением времени. Сочетание этого значения для α с нулевым результатом Кеннеди — Торндайка показывает, что β обязательно должно принимать значение релятивистского сокращения длины. И объединение этого значения для β с нулевым результатом Майкельсона — Морли показывает, что δ должно быть равно нулю. Таким образом, необходимые компоненты преобразования Лоренца обеспечиваются экспериментом в соответствии с теоретическими требованиями теории групп.

Рисунок 3. Упрощенная диаграмма Braxmaier et al. 2002 г.

В последние годы опыты Майкельсона — Морли, а также эксперименты типа Кеннеди — Торндайка повторялись с повышенной точностью с использованием лазеров, мазеров и криогенных оптических резонаторов. Границы зависимости от скорости согласно подходу Робертсона — Мансури — Сексла (RMS), которая указывает на связь между замедлением времени и сокращением длины, были значительно улучшены. Например, первоначальный опыт Кеннеди — Торндайка установил ограничения на среднеквадратичную зависимость скорости ~ 10⁻², но текущие ограничения находятся в диапазоне ~ 10⁻⁸[5].

На рис. 3 представлена упрощённая схема повторения опыта Кеннеди — Торндайка, проведённого Браксмайером и др. в 2002 году[6]. Слева фотодетекторы (PD) контролируют резонанс сапфирового криогенного оптического резонатора (CORE), выдерживаемого при температуре жидкого гелия, для стабилизации частоты Nd:YAG-лазера при 1064 нм. Справа линия поглощения 532  нм эталона йода низкого давления используется в качестве эталона времени для стабилизации (удвоенной) частоты второго Nd:YAG-лазера.

Автор	Год	Описание	Максимум </br> зависимость от скорости
Хилс и Холл[7]	1990 г.	Сравнение частоты оптического резонатора Фабри-Перо с частотой лазера, стабилизированного по опорной линии I 2 .	${\displaystyle \lesssim 10^{-5}}$
Браксмайер и др.[6]	2002 г.	Сравнение частоты криогенного оптического резонатора со стандартом частоты I 2 с использованием двух лазеров Nd:YAG .
Вольф и др.[8]	2003 г.	Частота стационарного криогенного микроволнового генератора, состоящего из кристалла сапфира, работающего в режиме шепчущей галереи, сравнивается с частотой водородного мазера, частота которого сравнивалась с часами атомных фонтанов на цезии и рубидии. Были проведены поиски изменений во время вращения Земли. Были проанализированы данные за 2001—2002 гг.	${\displaystyle \lesssim 10^{-7}}$
Вольф и др.[9]	2004 г.	См. Вольф и др. (2003). Реализован активный контроль температуры. Были проанализированы данные за 2002—2003 гг.
Тобар и др.[10]	2009 г.	См. Вольф и др. (2003). Данные за 2002—2008 гг. Анализировались как сидерические, так и годовые вариации.	${\displaystyle \lesssim 10^{-8}}$

Помимо наземных измерений, опыты Кеннеди — Торндайка проводились Müller & Soffel (1995)[11] и Müller et al. (1999)[12] с использованием данных лазерной локации Луны, в которых расстояние от Земли до Луны оценивается с точностью до сантиметров. Если существует предпочтительная система отсчёта и скорость света зависит от скорости наблюдателя, то при измерении расстояния Земля — Луна должны наблюдаться аномальные колебания. Поскольку замедление времени уже подтверждено с высокой точностью, наблюдение таких колебаний должно было бы продемонстрировать зависимость скорости света от скорости наблюдателя, а также зависимость сокращения длины от направления. Однако ни в одном из исследований таких колебаний не наблюдалось, а граница среднеквадратичной скорости ~10⁻⁵[12] оказалась сравнима с границами, установленными Хилсом и Холлом (1990). Следовательно, и сокращение длины, и замедление времени должны иметь значения, предсказанные специальной теорией относительности.