Общее знание

Общее знание можно определить для мультимодальных логических систем, где модальные операторы интерпретируются эпистемически. Мультимодальные системы являются расширением логики высказываний с добавлением группы агентов G и модальных операторов K_i (with i = 1, ..., n). ВыражениеK_iφ означает «агент i знает, что φ». Далее необходимо определить оператор E_G, который будет соответствовать ситуации «все в группе G знают, что»:

${\displaystyle E_{G}\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i\in G}K_{i}\varphi ,}$

Обозначив выражение ${\displaystyle E_{G}E_{G}^{n-1}\varphi }$ как${\displaystyle E_{G}^{n}\varphi }$ при ${\displaystyle E_{G}^{0}\varphi =\varphi }$, получаем аксиому общего знания

${\displaystyle C\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i=0}^{\infty }E^{i}\varphi }$

Здесь возникает осложнение. Язык эпистемической логики оперирует конечным числом объектов, в то время как аксиому общего знания содержит конъюнкцию бесконечного числа формул. Следовательно, в языке эпистемической логики формула не является правильно построенной. Проблема решается определением термина через неподвижную точку. Общее знание является неподвижной точкой выражения ${\displaystyle C_{G}\varphi =\varphi \wedge E_{G}(C_{G}\varphi )}$. Тогда можно найти формулу ${\displaystyle \psi }$, предполагающую ${\displaystyle E_{G}(\varphi \wedge C_{G}\varphi )}$, что в пределе даст общее знание ${\displaystyle \varphi }$.

Данная синтаксическая характеристика наделяется семантикой с помощью модели Крипке. Модель задаётся (i) множеством состояний S, (ii) n отношениями перехода ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n}}$, определёнными на ${\displaystyle S\times S}$, (iii) функцией пометок ${\displaystyle \pi }$. Чтобы построить семантику, необходимо сначала указать, что ${\displaystyle K_{i}\varphi }$ верно в состоянии s тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi }$ верно для всех состояний t таких, что ${\displaystyle (s,t)\in R_{i}}$. Семантика оператора общего знания создаётся рефлексивным и транзитивным замыканием ${\displaystyle R_{i}}$ для всех агентов i в G (получаемое отношение обозначается как ${\displaystyle R_{G}}$) при условии, что ${\displaystyle C_{G}\varphi }$ верно в состоянии s тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi }$ верно во всех состояниях t таких, что ${\displaystyle (s,t)\in R_{G}}$.

Альтернативная, но эквивалентная формализация общего знания дана Робертом Ауманном в терминах теории множеств. Имеется множество состояний S. Его подмножества называются событиями. Для каждого индивида i определяется разбиение S — P_i. Разбиение служит для характеристики знания индивида в некотором состоянии. В состоянии s индивид i знает, что возникло какое-либо (но не какое именно) из состояний, входящих во множество P_i(s), которое является элементом разбиения P_i, содержащим s. В данной модели возможность ошибочного знания исключается.

Функция знания определяется так:

${\displaystyle K_{i}(e)=\{s\in S\mid P_{i}(s)\subset e\}}$

То есть K_i(e) является множеством состояний, в которых индивид знает о наступлении события e. K_i(e) есть подмножество e.

Тогда оператор «все знают о наступлении e» определяется как

${\displaystyle E(e)=\bigcap _{i}K_{i}(e)}$

Как и в случае модальной логики, функция E применяется итеративно, ${\displaystyle E^{1}(e)=E(e)}$ и ${\displaystyle E^{n+1}(e)=E(E^{n}(e))}$. Функция общего знания выглядит следующим образом:

${\displaystyle C(e)=\bigcap _{n=1}^{\infty }E^{n}(e).}$

Эквивалентность подходов легко продемонстрировать. Если задана модель Ауманна, тогда можно определить соответствующую ей модель Крипке. Для этого необходимо (i) задать то же множество состояний S, (ii) задать отношения перехода ${\displaystyle R_{i}}$, определяющие классы эквивалентности, соответствующие разбиениям ${\displaystyle P_{i}}$, (iii) задать функцию пометок, присваивающую значение «верно» высказыванию p тогда и только тогда, когда состояния s такие, что ${\displaystyle s\in E^{p}}$, где ${\displaystyle E^{p}}$ есть событие из модели Ауманна, соответствующее высказыванию p. Нетрудно увидеть, что функция ${\displaystyle R_{G}}$, определённая в прошлом разделе, соответствует наилучшему общему огрублению разбиений ${\displaystyle P_{i}}$ для всех ${\displaystyle i\in G}$, что есть конечная характеристика общего знания (также дана Ауманном в 1976 году).