Некооперативная теория игр

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка ${\displaystyle \Gamma =\left\langle I,\left\{S_{i}\right\}_{i\in I},\left\{H_{i}\right\}_{i\in I}\right\rangle }$, где ${\displaystyle \ I}$ — множество участников игры (сторон, игроков); ${\displaystyle \ S_{i}}$ — множество стратегий участника ${\displaystyle \ i\in \ I}$; ${\displaystyle \ H_{i}}$ — функция выигрыша участника ${\displaystyle \ i}$, определенная на множестве ситуаций ${\displaystyle \ S=\prod _{i\in I}S_{i}}$ и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают из множеств ${\displaystyle \ S_{i}}$ свои стратегии. Вектор стратегий ${\displaystyle \ s=(s_{1},s_{2},...,s_{n})}$ всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции ${\displaystyle \ H_{i}(s)}$, на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков ${\displaystyle \ I}$ представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра — ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

• начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
• промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
• терминальные, имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева ${\displaystyle \ v}$, соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок ${\displaystyle \ i}$, совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока ${\displaystyle \ S_{v}}$. Каждому ходу ${\displaystyle \ s\in \ S_{v}}$ соответствует ребро, выходящее из вершины ${\displaystyle \ v}$.

Для учёта несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.

Для каждой вершины ${\displaystyle \ v}$, соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков ${\displaystyle \ H_{i}(v)}$.

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции ${\displaystyle \ v}$ игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход ${\displaystyle \ s\in \ S_{v}}$, в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу ${\displaystyle \ s}$. Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию ${\displaystyle \ v}$, то все игроки получают выигрыши ${\displaystyle \ H_{i}(v)}$, и игра завершается.

Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

• равновесие дрожащей руки;
• собственное равновесие;
• сильное равновесие.

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

• ε-равновесие;
• равновесие в доминирующих стратегиях;
• решение игры по доминированию;
• равновесие в осторожных стратегиях.

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

• равновесие, совершенное по под-играм;
• секвенциальное равновесие;
• сильное секвенциальное равновесие.

• Дилемма заключённого
• Трагедия общин

• Кооперативная игра
• Теория игр
• Равновесие Нэша

• Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.
• Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: Макс-пресс, 2005. — 272 с. — ISBN 5-317-01388-7.
• Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: Макс Пресс, 2005, 412 с. ISBN 5-317-01306-2.