Нильпотентный элемент
Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.
Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).
Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр[1].
Определение
Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что [2].
Минимальное значение , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента .
Примеры
- Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица
- нильпотентна, поскольку . Подробнее в статье Нильпотентная матрица.
- В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 32 сравнимо с 0 по модулю 9.
- Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию . Тогда элемент нильпотентен, поскольку . Пример для матриц (в качестве a и b):
- Здесь .
- Кольцо сплит-кватернионов содержит конус нильпотентных элементов.
- По определению любой элемент нильполугруппы нильпотентен.
Свойства
- Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.
- Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен .
- Если элемент x нильпотентен, то является обратимым элементом, поскольку из следует:
- Более обще, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.
Коммутативные кольца
Нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют идеал , что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале этого кольца, поскольку . Таким образом, содержится в пересечении всех простых идеалов.
Если элемент не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней : , чтобы получить ненулевое кольцо . Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам кольца с [3]. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент не содержится в некотором простом идеале. Тогда является в точности пересечением всех простых идеалов[4].
Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.
Нильпотентные элементы Алгебры Ли
Пусть — Алгебра Ли. Тогда элемент называется нильпотентным, если он в и является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли.
Нильпотентность в физике
Операнд Q, удовлетворяющий условию нильпотентен. Числа Грассмана, которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.
Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения[5][6]. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует , такой, что (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса[7] как показал Эдвард Виттен в признанной статье[8].
Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства[9]. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.
Алгебраические нильпотенты
Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы (кокватернионы), расщеплённые октанионы, бикватернионы и комплексные октанионы .
См. также
- Идемпотентный элемент
- Унипотентный элемент
- Приведённое кольцо
- Ниль-идеал
Примечания
- Milies, Sehgal, 2002, с. 127.
- Математическая энциклопедия, 1977—1985.
- Matsumura, 1970, с. 6.
- Atiyah, MacDonald, 1994, с. 5.
- Peirce, 1870.
- Milies, Sehgal, 2002.
- Rogers, 2000, с. 3703–3714.
- Witten, 1982, с. 661–692.
- Rowlands, 2007.
Литература
- Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. An Introduction to Group Rings. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — ISBN 978-1-4020-0238-0.
- Hideyuki Matsumura. Chapter 1: Elementary Results // Commutative Algebra. — W. A. Benjamin, 1970. — ISBN 978-0-805-37025-6.
- Atiyah M. F., MacDonald I. G. Chapter 1: Rings and Ideals // Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1994. — ISBN 978-0-201-40751-8.
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва: «Мир», 1972.
- Peirce B. Linear Associative Algebra. — 1870.
- A. Rogers. The topological particle and Morse theory // Class. Quantum Grav. — 2000. — Вып. 17. — doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
- E. Witten. Supersymmetry and Morse theory // J.Diff.Geom. — 1982. — Вып. 17.
- Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. — London: World Scientific, 2007. — ISBN 978-981-270-914-1.