Квантовое байесианство

Фрэнк Рамсей, философ, математик и экономист, чья интерпретация теории вероятностей схожа с интерпретацией квантового байесианства[15]

Эдвин Джейнс, сторонник использования байесовской вероятности в статистической физике, в своё время заметил, что квантовая теория — «своеобразная смесь, описывающая отчасти реалии Природы, отчасти неполные человеческие знания о Природе, и всё это было собрано Гейзенбергом и Нильсом Бором в кучу, которую ещё не удалось разобрать»[16]. Квантовый байесианизм развился из попыток разделить эти части с помощью теории квантовой информации и байесовской теории вероятностей.

Существуют множество интерпретаций теории вероятностей. В целом эти интерпретации подразделяются на две категории: первая подразумевает вероятность как объективное свойство реальности, вторая — вероятность как субъективную мысленную конструкцию, которую агент может использовать для того, чтобы определить количественно уровень незнания или степень уверенности в утверждении. Квантовый байесианизм начинается с принятия того факта, что все вероятности (в том числе появляющиеся в квантовой теории) чаще всего рассматриваются как члены последней категории. В частности, кьюбизм принимает персоналистскую байесианскую интерпретацию со стороны таких авторов, как итальянский математик Бруно де Финетти[17] и британский философ Фрэнк Рамсей[18][19].

Согласно кьюбистам, преимущества принятия подобного взгляда на вероятность являются двоякими. Во-первых, роль квантовых состояний (волновые функции частиц) заключается в эффективном процессе шифрования вероятностей, поэтому квантовые состояния являются собственно окончательными степенями уверенности. (Если считать любое единичное измерение минимальной, информационно полной положительной операторозначной величиной (POVM), то очевидно, что квантовое состояние математически эквивалентно сингулярному распределению вероятности, распределению над возможными результатами измерения)[20]. Рассмотрение квантовых состояний как степеней уверенности означает, что событие изменения квантового состояния при произведении измерения (редукция фон Неймана) — это агент, который обновляет уверенность в ответ на новый опыт[14]. Во-вторых, предполагается, что квантовую механику можно рассматривать как локальную теорию, поскольку критерий реальности Эйнштейна — Подольского — Розена можно смело отвергать. Последний гласит, что если без вмешательства в систему можно определённо (со стопроцентной вероятностью) предсказать значение некоей физической величины, тогда существует элемент физической реальности, который этой величине и соответствует[21]. В связи с этим принципом разгорелись споры о том, стоит ли считать квантовую механику нелокальной теорией, однако кьюбисты считают их бессмысленными, поскольку сторонник квантового байесианизма признаёт все вероятности (даже стопроцентные) степенями уверенности[22][23]. Поэтому, хотя многие интерпретации квантовой теории признают квантовую механику нелокальной теорией, кьюбисты придерживаются иного мнения[24].

Термин «кьюбизм» (англ. QBism) в квантовой механике как сокращение от «квантовый байесианизм» (англ. quantum Bayesianism) ввёл Фукс, который представил его толкование в более или менее современной форме в 2010 году[25], продолжая затронутые ранее идеи и пытаясь их более согласовать, особенно в публикациях начиная с 2002 года[26][27]. Несколько последующих научных работ расширили и развили эту тему на данных основах, в том числе статьи Фукса и Шака в «Reviews of Modern Physics»[20]; Фукса, Мермина и Шака в «American Journal of Physics»[24] и лекции Фукса и Стейси в летней школе имени Энрико Ферми[28][23].

До публикации статьи 2010 года термин «квантовое байесианство» использовался для описания развития того, что привело к кьюбизму в его действовавшей форме. Однако квантовое байесианство является такой разновидностью байесианства, которое устраивает не всех, кто пытается применить байесианский подход к квантовой теории (см. другие применения ниже). Соответственно, Фукс называл это явление «QBism» (произносится в английском точно так же, как название стиля «кубизм»), выделяя байесианский дух в первых двух буквах а-ля CamelCase, но ещё сильнее дистанцируясь от байесианства. В неологизме обыгрывался такой стиль живописи, как кубизм, что мотивирует сравнивать концепции и того, и другого[29]; в СМИ байесовский кьюбизм иллюстрировали произведениями Пикассо[1] и Гриса[30]. Тем не менее, «QBism» квантовой механики никакого отношения к кубизму не имеет, равно как и ко взглядам Бора на квантовую теорию[31].

Согласно квантовому байесианству, квантовая теория — инструмент, который агент может использовать для управления собственными ожиданиями, больше близкий к теории вероятностей, чем к какой-либо условной физической теории[14]. Квантовая теория — прежде всего руководство для принятия решений, которое было отшлифовано некими аспектами физической реальности. Ключевыми положениями квантового байесианства являются следующие[32]:

1. Все вероятности (от 0 до 1) — оценки описываемой агентом степени уверенности в определённом исходе. Поскольку они определяют и обновляют вероятности, квантовые состояния (операторы плотности), каналы (полностью положительные карты, сохраняющие след) и величины (положительные операторозначные) также являются личными суждениями агента.
2. Правило Борна является нормативным, а не описывающим. Это отношение, к которому должен стремиться агент, чтобы придерживаться назначения собственных вероятности и квантового состояния.
3. Результаты квантовых измерений — личный опыт агента, ставящего на них. Разные агенты могут сообщать и согласовывать последствия измерения, но результатом является индивидуальный опыт каждого.
4. Измерительный прибор концептуально является продолжением агента. Его надо признавать аналогом органа чувств или протеза конечности, то есть как инструмент и часть индивидуума.

Жан Метценже, художник-кубист. «Танцовщица в кафе», 1912 год. Дэвид Мермин объяснял выбор так: «Предпочитаю термин "кьюбизм", поскольку такой вид на квантовую механику отличается от других настолько же, насколько кубизм от живописи Эпохи Возрождения»[29].

На квантово-байесианскую интерпретацию существуют реакции от восторженных[14][29] до крайнего неприятия[33]. Те, кто критикует байесианизм, утверждают, что он не соответствует цели разрешения парадоксов в квантовой теории. Так, Гвидо Бачьягалуппи утверждал, что отношение к результатам измерений со стороны байесианцев не разрешает проблему нелокальности[34]; Грегг Йегер не признавал положение квантового байесианства о том, что интерпретация вероятности — ключ к разрешению противоречий[6]; Трэвис Норсен обвинял это направление в поддержке солипсизма[35]; Дэвид Уоллес расценивал это как проявление инструментализма[36]. Сторонники квантового байесианства отрицали характеристики, относящие их теорию к солипсизму или инструментализму[18][37]. Критическая статья Майкла Науэнберга в журнале «American Journal of Physics», направленная против кьюбистов[33], вызвала ответ со стороны Фукса, Мермина и Шака[38]. Некоторые исследователи предполагают наличие несоответствий: так, Аллен Стэйрз не признаёт стопроцентную вероятность степенью уверенности[39]; Кристофер Тимпсон, высказывая озабоченность по поводу отношения к единичной вероятности, предполагает меньшую объяснительную силу у сторонников квантового байесианства по сравнению с другими интерпретациями[7] (на это у Фукса и Шака также нашёлся ответ в виде другой статьи)[40]. В 2012 году в журнале «Physics Today» в защиту квантового байесианства выступил Дэвид Мермин, что положило начало большой дискуссии на форуме журнала[8], представленной в виде пользовательских комментариев к статье Мермина и его ответов на эти комментарии[41][42]. Во 2-м разделе «Стэнфордской философской энциклопедии» в статье о квантовом байесианстве содержится раздел возражений против подобной интерпретации и комментариев со стороны авторов[43]. Все остальные противники квантового байесианства отмечают другие, общефилософские причины непринятия этого течения (например, Ульрих Морхофф критикует его с точки зрения кантианства[44].

Конкретные авторы считают квантовое байесианство внутренне вполне согласованным, но не соглашаются с интерпретацией.[45][46]. Так, Луис Марчильдон полагает, что квантовое байесианство объяснено лучше, чем многомировая интерпретация, однако он отдаёт предпочтение теории де Бройля — Бома[47]. Аналогично Максимилиан Шлоссхауэр и Танджерин Клэрингболд считают байесианство последовательной интерпретацией квантовой механики, но не выносят вердикт о том, стоит ли его принимать[48]. Некоторые соглашаются со многими, но не всеми ключевыми положениями байесианства (например, Ховард Барнум и Д. М. Эпплби)[49][50].

Полностью или отчасти популяризированное освещение в СМИ было представлено в таких изданиях, как «New Scientist»[51][52][53][54], «Scientific American»[55], «Nature»[56], «Science News»[57], FQXi Community[58], «Frankfurter Allgemeine Zeitung»[30], «Quanta Magazine»[17] «Aeon»[59] и «Discover»[60]. В 2018 году вышли две книги в жанре популярной науки, посвящённые интерпретации квантовой механики, — авторства Филипа Болла «За неразумным» и Анила Анатасвами; «Через две двери сразу»[61][62], а двумя годами ранее издательством Harvard University Press опубликована книга «Кьюбизм: Будущее квантовой физики»[14].

Техническую работу мотивировали концептуальные проблемы интерпретации квантовой механики и значения вероятности. Квантовая версия теоремы де Финетти, которую вывели Кейвз, Фукс и Шак независимо от Эрлинга Стёрмера[91] с целью продвижения байесовского понимания идеи «неизвестного квантового состояния»[92][93], нашла своё применение также в квантовом распределении ключей[94] и обнаружении квантовой запутанности[95].

Сторонники ряда интерпретаций квантовой механики (в том числе кубисты) имели своей целью реконструировать квантовую теорию. Эти исследовательские усилия были направлены на определение нового набора аксиом или постулатов, на основе которых можно получить математическую структуру квантовой теории, — ожидалось, что при переформулировке свойства природы, повлиявшие на становление квантовой теории в текущем виде, можно будет проще определить[56][96]. Хотя ключевые положения кьюбизма этой реконструкции не требуют, такие кьюбисты, как Фукс, утверждают о её необходимости[27].

Одна из важных в попытках реконструкции тем — набор математических структур, известный как «симметрические, информационно полные, положительные операторозначные величины» (SIC-POVM). Фундаментальные исследования кьюбистов стимулировали интерес к этим структурам, у которых есть приложения в квантовой теории вне фундаментальных исследований[97][98][99][100] и в «чистой математике»[101].

Наиболее тщательно исследованная кьюбистская переформулировка квантовой теории предусматривает применение SIC-POVM для перезаписи квантовых состояний (чистых или смешанных) как набора вероятностей, определённых по результатам измерения «Бюро стандартов»[102][103]. Если выразить матрицу плотности как распределение вероятностей по результатам эксперимента SIC-POVM, возможно воспроизвести все статистические прогнозы, подразумеваемые матрицей плотности, из вероятностей SIC-POVM[104]. В таком случае правило Борна берёт на себя роль связывания одного действительного распределения вероятностей с другим, а не получения вероятностей от чего-то более фундаментального. Эта формулировка в работах Фукса и Шака названа «Urgleichung» (с нем. — «первичное уравнение»), так как оно играет центральную роль в их реконструкции квантовой теории[20][105].

Последующее обсуждение предусматривает знакомство с математическим аппаратом теории квантовой информации и в особенности моделирование процедур измерения с помощью положительных операторозначных величин. Рассматривается квантовая система, с которой ассоциируется ${\textstyle d}$-мерное гильбертово пространство. Если набор из ${\textstyle d^{2}}$ 1-ранговых-1 проекторов ${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{i}}$, удовлетворяющий условию

$${\displaystyle \operatorname {tr} {\hat {\Pi }}_{i}{\hat {\Pi }}_{j}={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}},}$$

существует, тогда возможно создать SIC-POVM ${\textstyle {\hat {H}}_{i}={\frac {1}{d}}{\hat {\Pi }}_{i}}$. Произвольное квантовое состояние ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ может быть записано как линейная комбинация SIC-проекторов

$${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i=1}^{d^{2}}\left[(d+1)P(H_{i})-{\frac {1}{d}}\right]{\hat {\Pi }}_{i},}$$

где ${\textstyle P(H_{i})=\operatorname {tr} {\hat {\rho }}{\hat {H}}_{i}}$ – вероятность по правилу Борна получить результаты SIC-измерений ${\displaystyle H_{i}}$, подразумеваемая наличием состояния ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$. Подразумевается, что операторы являются проекционными (отмечаются циркумфлексом), а итог (результаты измерений) — нет. Теперь необходимо рассмотреть произвольное квантовое состояние, определённое POVM ${\displaystyle \{{\hat {D}}_{j}\}}$. Первичное уравнение — выражение, полученное из формирования вероятностей по правилу Борна ${\textstyle Q(D_{j})=\operatorname {tr} {\hat {\rho }}{\hat {D}}_{j}}$; в результате измерений получится

$${\displaystyle Q(D_{j})=\sum _{i=1}^{d^{2}}\left[(d+1)P(H_{i})-{\frac {1}{d}}\right]P(D_{j}\mid H_{i}),}$$

где ${\displaystyle P(D_{j}\mid H_{i})\equiv \operatorname {tr} {\hat {\Pi }}_{i}{\hat {D}}_{j}}$ – вероятность по правилу Борна получить результат ${\displaystyle D_{j}}$, вытекающий из значения состояния ${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{i}}$. ${\displaystyle P(D_{j}\mid H_{i})}$ можно тогда расценивать как условную вероятность в условиях каскадного измерения. Пример — ситуация, когда агент планирует произвести два измерения (сначала SIC, а потом ${\displaystyle \{D_{j}\}}$). Получив результат первого измерения, он обновит значение состояния до ${\displaystyle {\hat {\rho }}'}$, прежде чем перейти ко второму. При использовании правила Людерса[106] для обновления состояния и получения результата ${\displaystyle H_{i}}$ на основе SIC-измерений в результате будет ${\textstyle {\hat {\rho }}'={\hat {\Pi }}_{i}}$. Таким образом, вероятность получения результата ${\displaystyle D_{j}}$ при втором измерении в зависимости от результата ${\displaystyle H_{i}}$ для SIC-измерения составляет ${\displaystyle P(D_{j}\mid H_{i})}$. Необходимо отметить, что первичное уравнение структурно схоже с формулой полной вероятности

$${\displaystyle P(D_{j})=\sum _{i=1}^{d^{2}}P(H_{i})P(D_{j}\mid H_{i}).}$$

Функционально они отличаются только зависимым от измерений аффинным преобразованием вектора вероятности SIC. Поскольку кьюбизм утверждает, что квантовая теория — мотивированное эмпирически нормативное дополнение к теории вероятностей, Фукс и другие расценивают структуру в квантовой теории, аналогичную структуре в теории вероятностей, как признак того, что переформулирование с использованием первичного уравнения может помочь выявить природные свойства, которые помогли развить квантовую теорию[20][23].

Важно признать, что первичное уравнение не может быть заменой формуле полной вероятности. Они применяются в разных сценариях, так как ${\displaystyle P(D_{j})}$ и ${\displaystyle Q(D_{j})}$ ссылаются на разные ситуации. ${\displaystyle P(D_{j})}$ — это обозначение агентом вероятности получения результата ${\displaystyle D_{j}}$ после второго из двух запланированных измерений; то есть для получения результата ${\displaystyle D_{j}}$ после первого SIC-измерения и получения одного из результатов ${\displaystyle H_{i}}$. ${\displaystyle Q(D_{j})}$, с другой стороны — обозначение агентом вероятности получения результата ${\displaystyle D_{j}}$ без планов сделать первое SIC-измерение. Формула полной вероятности — следствие согласованности в операционном контексте при выполнении двух измерений, как было указано. Напротив, первичное правило является отношением между разными контекстами, которое находит оправдание своего применения в предсказуемом успехе квантовой физики.

SIC-репрезентация квантовых состояний также предполагает переформулирование квантовой динамики. К примеру, есть квантовое состояние ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ с SIC-репрезентацией ${\textstyle P(H_{i})}$. Временная эволюция этого состояния определяется с помощью унитарного оператора ${\displaystyle {\hat {U}}}$ с целью создания нового состояния ${\textstyle {\hat {U}}{\hat {\rho }}{\hat {U}}^{\dagger }}$ и его SIC-репрезентации

$${\displaystyle P_{t}(H_{i})=\operatorname {tr} \left[({\hat {U}}{\hat {\rho }}{\hat {U}}^{\dagger }){\hat {H}}_{i}\right]=\operatorname {tr} \left[{\hat {\rho }}({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {H}}_{i}{\hat {U}})\right].}$$

Второе уравнение дано в представлении Гейзенберга по поводу квантовой динамики, относительно которой временная эволюция квантовой системы подчиняется вероятностям, ассоциируемым с управляемой SIC-величиной ${\textstyle \{D_{j}\}=\{{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {H}}_{j}{\hat {U}}\}}$ оригинального квантового состояния ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$. Тогда уравнение Шрёдингера полностью подчиняется первичному уравнению для следующего измерения:

$${\displaystyle P_{t}(H_{j})=\sum _{i=1}^{d^{2}}\left[(d+1)P(H_{i})-{\frac {1}{d}}\right]P(D_{j}\mid H_{i}).}$$

В этих условиях уравнение Шрёдингера — пример применения правила Борна к течению времени, которое агент использует для определения того, как будут использоваться информационно полные измерения, произведённые потенциально в разные моменты времени.

Кьюбисты, считающие этот подход многообещающим, стремятся к полной реконструкции квантовой теории, в которой ключевым постулатом является первичное уравнение[105], обсуждаемое также в контексте теории категорий[107]. Сравнения этого подхода с другими, не связанными с кьюбизмом или любой конкретной интерпретацией, можно найти в трудах Фукса и Стэйси[108], статьях Эпплби и других учёных[105]. По состоянию на 2017 год альтернативная кьюбистская реконструкция ещё находилась на ранних стадиях[109].

• Exotic Probability Theories and Quantum Mechanics: References
• Notes on a Paulian Idea: Foundational, Historical, Anecdotal and Forward-Looking Thoughts on the Quantum – Cerro Grande Fire Series, Volume 1
• My Struggles with the Block Universe – Cerro Grande Fire Series, Volume 2
• Why the multiverse is all about you – The Philosopher's Zone interview with Fuchs
• A Private View of Quantum Reality – Quanta Magazine interview with Fuchs
• Rüdiger Schack on quantum Bayesianism – Machine Intelligence Research Institute interview with Schack
• Participatory Realism – 2017 conference at the Stellenbosch Institute for Advanced Study
• Being Bayesian in a Quantum World – 2005 conference at the University of Konstanz
• Cabello, Adán El puzle de la teoría cuántica: ¿Es posible zanjar científicamente el debate sobre la naturaleza del mundo cuántico? (неопр.). Investigación y Ciencia (September 2017).
• Some Tenets of QBism на YouTube
• John B. DeBrota, Blake C. Stacey (2018-10-31), FAQBism, arΧiv:1810.13401 [quant-ph]