Квантовая вероятность

Квантовая вероятность (некоммутативная вероятность) — некоммутативный аналог классической (колмогоровской) теории вероятности и теории стохастических процессов.

Некоммутативным случайным процессом называется случайный процесс над C*-алгеброй B с множеством значений параметра ${\displaystyle T}$ как совокупность из C*-алгебры A, семейства ${\displaystyle {J(t):t\in T}}$ гомоморфизмов алгебры B в A и состояния ${\displaystyle \omega }$ на A.

Приведенное определение некоммутативного случайного процесса таково, что может использоваться в квантовой теории открытых систем. Оно может рассматриваться как некоммутативный аналог классического случайного процесса в смысле Дуба[1] и Мейера[2].

Исследования моделей открытых квантовых систем восходят к пионерской работе[3] Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова 1939 года. Лежащие в основе стохастические структуры были открыты и изучены значительно позже. Главной трудностью оказался вопрос о правильном определении понятия квантового случайного процесса. Значительный прогресс в этом вопросе был связан с введением понятия квантовой динамической полугруппы, предложенного А. Коссаковским[4][5][6], а затем развитого Г. Линдбладом[7] (см. Уравнение Линдблада).

Квантовые динамические полугруппы являются некоммутативным обобщением полугруппы отображений операторов в теории марковских случайных процессов. Эта полугруппа описывает эволюцию квантовой системы, определяемую только настоящим состоянием системы, то есть эволюцию без памяти о прошлых состояниях. Такие полугруппы удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые являются некоммутативными обобщениями уравнений Фоккера — Планка или Колмогорова — Чепмена.

Квантовым (некоммутативным) вероятностным пространством называется пара (A,${\displaystyle \omega }$), где A является *-алгеброй и ${\displaystyle \omega }$ является состоянием.

Это определение является обобщением вероятностного пространства в классической (колмогоровской) теории вероятностей[8], в том смысле, что каждое классическое вероятностное пространство порождает квантовое вероятностное пространство, если в качестве A выбрана *-алгеброй ограниченных комплекснозначных измеримых функций.