Комплекснозначная функция

Комплекснозначная функция в теории функций вещественной переменной — функция, принимающая комплексные значения: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ .

Такая функция может быть представлена в виде:

${\displaystyle f(x)=u(x)+iv(x)}$,

где ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ — вещественные функции. В этом случае функция ${\displaystyle u(x)}$ называется вещественной частью функции ${\displaystyle f(x)}$, а ${\displaystyle v(x)}$ — её мнимой частью. В связи с таким разложением, на комплекснозначные функции естественным образом переносятся все понятия, вводимые для вещественнозначных функций, в частности, комплекснозначная функция считается непрерывной (дифференцируемой, аналитической, измеримой, гармонической), если её вещественная и мнимая части являются непрерывными (дифференцируемыми, аналитическими, измеримыми, гармоническими) функциями. Интеграл комплекснозначной функции ${\displaystyle f(x)=u(x)+iv(x)}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b}v(x)dx}$.

Однако не все свойства, выполненные для вещественной и мнимой части одновременно, могут быть распространены на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций в общем случае не действует теорема Ролля, например, производная комплекснозначной функции вещественного аргумента:

${\displaystyle \sigma (x)=e^{ix}}$

на интервале ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ не обращается в нуль, хотя в конечных точках отрезка значения функции равны ${\displaystyle (\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)}$.