Байесовский вывод

Байесовский вывод использует аспекты научного метода, который вовлекает сбор свидетельств, предназначенных для того, чтобы поддерживать или не поддерживать данную гипотезу. Поскольку свидетельства накапливаются, степень веры в гипотезу должна измениться. С достаточным количеством свидетельств, она должна стать либо очень высокой, либо очень низкой. Таким образом, сторонники байесовского вывода говорят, что он может использоваться, чтобы провести различие между противоречивыми гипотезами: гипотезы с очень высокой поддержкой должны быть приняты как истинные, а с очень низкой поддержкой должны быть отклонены как ложные. Однако противники говорят, что этот метод вывода может привести к отклонению благодаря исходному верованию, которого каждый придерживается до того, когда какое-либо свидетельство будет собрано (это — форма так называемого индуктивного отклонения(англ. bias)).[1]

Байесовский вывод использует числовую оценку степени веры в гипотезу до получения свидетельства, чтобы вычислить числовую оценку степени веры в гипотезу после того, как свидетельство было получено (этот процесс повторяется, когда получено дополнительное свидетельство). В индукционном процессе байесовский вывод обычно опирается на степени веры, или субъективные вероятности, и не обязательно утверждает, что обеспечен объективный метод индукции. Тем не менее некоторые байесовские статистики полагают, что вероятности могут иметь объективное значение, и поэтому байесовский вывод может обеспечить объективный метод индукции (см. научный метод).[1]

Теорема Байеса подправляет вероятность гипотезы, данную новым свидетельством, следующим образом:

${\displaystyle P(H|E)={\frac {P(E|H)\;P(H)}{P(E)}},}$

где

• ${\displaystyle H}$ представляет конкретную гипотезу, которая может быть, а может и не быть некоторой нулевой гипотезой.
• ${\displaystyle P(H)}$ называется априорной вероятностью ${\displaystyle H}$, которая была выведена прежде, чем новое свидетельство ${\displaystyle E}$ стало доступным.
• ${\displaystyle P(E|H)}$ называется условной вероятностью наблюдения свидетельства ${\displaystyle E}$, если гипотеза ${\displaystyle H}$ оказывается верной; её также называют функцией правдоподобия, когда она рассматривается как функция ${\displaystyle H}$ для фиксированного ${\displaystyle E}$.
• ${\displaystyle P(E)}$ называется маргинальной вероятностью ${\displaystyle E}$: априорная вероятность наблюдения нового свидетельства ${\displaystyle E}$ согласно всем возможным гипотезам; может быть вычислено по формуле полной вероятности:

${\displaystyle P(E)=\sum P(E|H_{i})P(H_{i})}$

 — как сумма произведений всех вероятностей любого полного набора взаимно исключающих гипотез и соответствующих условных вероятностей.

• ${\displaystyle P(H|E)}$ называется апостериорной вероятностью ${\displaystyle H}$ для данного ${\displaystyle E}$.[1]

• On-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David MacKay, has chapters on Bayesian methods, including examples; arguments in favour of Bayesian methods (in the style of Edwin Jaynes); modern Monte Carlo methods, message-passing methods, and variational methods; and examples illustrating the connections between Bayesian inference and data compression.
• Berger, J.O. (1999) Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. Springer Verlag, New York. ISBN 0-387-96098-8 and also ISBN 3-540-96098-8.
• Bolstad, William M. (2004) Introduction to Bayesian Statistics, John Wiley ISBN 0-471-27020-2
• Bretthorst, G. Larry, 1988, Bayesian Spectrum Analysis and Parameter Estimation in Lecture Notes in Statistics, 48, Springer-Verlag, New York, New York
• Carlin, B.P. and Louis, T.A. (2008) Bayesian Methods for Data Analysis, Third Edition. Chapman & Hall/CRC.
• Dawid, A.P. and Mortera, J. (1996) Coherent analysis of forensic identification evidence. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 58,425-443.
• Foreman, L.A; Smith, A.F.M. and Evett, I.W. (1997). Bayesian analysis of deoxyribonucleic acid profiling data in forensic identification applications (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 160, 429—469.
• Gardner-Medwin, A. What probability should the jury address?. Significance. Volume 2, Issue 1, March 2005
• Gelman, A., Carlin, J., Stern, H., and Rubin, D.B. (2003). Bayesian Data Analysis. Second Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida. ISBN 1-58488-388-X.
• Gelman, A. and Meng, X.L. (2004). Applied Bayesian Modeling and Causal Inference from Incomplete-Data Perspectives: an essential journey with Donald Rubin’s statistical family. John Wiley & Sons, Chichester, UK. ISBN 0-470-09043-X
• Giffin, A. and Caticha, A. (2007) Updating Probabilities with Data and Moments
• Jaynes, E.T. (1998) Probability Theory: The Logic of Science.
• Lee, Peter M. Bayesian Statistics: An Introduction. Second Edition. (1997). ISBN 0-340-67785-6.
• Loredo, Thomas J. (1992) «Promise of Bayesian Inference in Astrophysics» in Statistical Challenges in Modern Astronomy, ed. Feigelson & Babu.
• O’Hagan, A. and Forster, J. (2003) Kendall’s Advanced Theory of Statistics, Volume 2B: Bayesian Inference. Arnold, New York. ISBN 0-340-52922-9.
• Pearl, J. (1988) Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems, San Mateo, CA: Morgan Kaufmann.
• Robert, C.P. (2001) The Bayesian Choice. Springer Verlag, New York.
• Robertson, B. and Vignaux, G.A. (1995) Interpreting Evidence: Evaluating Forensic Science in the Courtroom. John Wiley and Sons. Chichester.
• Winkler, Robert L, Introduction to Bayesian Inference and Decision, 2nd Edition (2003) Probabilistic. ISBN 0-9647938-4-9
• Scientific American essay on Bayesian inference and the probability of God’s existence by Chris Wiggins.
• A nice on-line introductory tutorial to Bayesian probabilityfrom Queen Mary University of London
• An Intuitive Explanation of Bayesian Reasoning Bayes' Theorem for the curious and bewildered; an excruciatingly gentle introduction by Eliezer Yudkowsky
• Paul Graham. «A Plan for Spam» (exposition of a popular approach for spam classification)