Задача коммивояжёра

Симметричная задача для четырёх городов.

Для возможности применения математического аппарата для решения задачи её следует представить в виде математической модели. Задачу коммивояжёра можно представить в виде модели на графе, то есть, используя вершины и ребра между ними. Таким образом, вершины графа соответствуют городам, а рёбра ${\displaystyle \left(i,j\right)}$ между вершинами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ — пути сообщения между этими городами. Каждому ребру ${\displaystyle \left(i,j\right)}$ можно сопоставить критерий выгодности маршрута ${\displaystyle c_{ij}\geqslant 0}$, который можно понимать как, например, расстояние между городами, время или стоимость поездки.

Гамильтоновым циклом называется маршрут, включающий ровно по одному разу каждую вершину графа.

В целях упрощения задачи и гарантии существования маршрута обычно считается, что модельный граф задачи является полностью связным, то есть, что между произвольной парой вершин существует ребро. В тех случаях, когда между отдельными городами не существует сообщения, этого можно достичь путём ввода рёбер с максимальной длиной. Из-за большой длины такое ребро никогда не попадет к оптимальному маршруту, если он существует.

Таким образом, решение задачи коммивояжёра — это нахождение гамильтонова цикла минимального веса в полном взвешенном графе.

В зависимости от того, какой критерий выгодности маршрута сопоставляется величине ребер, различают различные варианты задачи, важнейшими из которых являются симметричная и метрическая задачи.

В общем случае, асимметричная задача коммивояжёра отличается тем, что она моделируется ориентированным графом. Таким образом, следует также учитывать, в каком направлении находятся ребра.

В случае симметричной задачи все пары ребер между одними и теми же вершинами имеют одинаковую длину, то есть, для ребра ${\displaystyle \left(i,j\right)}$ одинаковы длины ${\displaystyle c_{ij}=c_{ji}}$. В симметричном случае количество возможных маршрутов вдвое меньше асимметричного случая. Симметричная задача моделируется неориентированным графом (см. рисунок).

На самом деле, задача коммивояжёра в случае реальных городов может быть как симметричной, так и асимметричной в зависимости от длительности или длины маршрутов и от направления движения.

Симметричную задачу коммивояжёра называют метрической, если относительно длин ребер выполняется неравенство треугольника. Условно говоря, в таких задачах обходные пути длиннее прямых, то есть ребро от вершины ${\displaystyle i}$ до вершины ${\displaystyle j}$ никогда не бывает длиннее пути через промежуточную вершину ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle c_{ij}\leqslant c_{ik}+c_{kj}}$.

Такое свойство длины ребер определяет измеримое пространство на множестве ребер и меру расстояния, удовлетворяющую интуитивному пониманию расстояния.

Распространенные на практике функции расстояния являются также метриками и удовлетворяют неравенству треугольника:

• Евклидово расстояние в евклидовой задаче коммивояжёра,
• Манхэттенская метрика (также квартальная метрика) прямоугольной задачи коммивояжёра, в которой расстояние между вершинами на решетке равно сумме расстояний по оси ординат и абсцисс,
• Максимальная метрика, определяющая расстояние между вершинами решетчатого графа как максимальное значение расстояния вдоль оси ординат и абсцисс.

Две последние метрики находят применение, например, при сверлении отверстий в печатных платах, когда станок должен сделать больше отверстий за наименьшее время и может перемещать сверло в обоих направлениях для перехода от одного отверстия к следующему. Манхэттенская метрика соответствует случаю, когда передвижение в обоих направлениях происходит последовательно, а максимальная — случаю, когда передвижение в обоих направлениях происходит синхронно, а общее время равно максимальному времени передвижения вдоль оси ординат или абсцисс.

Неметрическая задача коммивояжёра может возникать, например, в случае минимизации длительности пребывания при наличии выбора транспортных средств в различных направлениях. В таком случае обходной путь самолетом может быть короче прямого сообщения автомобилем.

Если на практике в условиях задачи разрешается посещать города несколько раз, то симметричную задачу можно свести к метрической. Для этого задачу рассматривают на так называемом графе расстояний. Этот граф имеет такое же множество вершин, как и исходный, и является полностью связным. Длина рёбер ${\displaystyle c_{ij}}$ между вершинами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ на графе расстояний соответствует длине кратчайшего расстояния между вершинами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ в исходном графе. Для определенных таким образом длин ${\displaystyle c_{ij}}$ выполняется неравенство треугольника, и каждому маршруту на графе расстояний всегда соответствует маршрут с возможными повторениями вершин в исходном графе.

Одним из подходов к решению задачи является формулировка её в виде задачи дискретной оптимизации, при этом решения представляются в виде переменных, а связи — в виде отношений неравенства между ними. Таким образом, возможно несколько вариантов. Например, симметричную задачу можно представить в виде множества ребер ${\displaystyle V}$. Каждому ребру ${\displaystyle \{i,j\}}$ сопоставляется двоичная переменная ${\displaystyle x_{ij}\in \{0,1\}}$, равная 1, если ребро принадлежит маршруту, и 0 — в противном случае. Произвольный маршрут можно представить в виде значений множества переменных принадлежности, но не каждое такое множество определяет маршрут. Условием того, что значения множества переменных определяют маршрут, являются описанные далее линейные неравенства.

Условие кратности: каждая вершина должна иметь одно входное и одно выходное ребро маршрута.

Каждая вершина должна сообщаться через пару ребер с остальным вершинам, то есть, через входное и выходное ребро:

${\displaystyle \forall i\in V,\;\sum _{j\in V\setminus \{i\}}x_{ij}=2\qquad (1)}$

В сумме каждое слагаемое ${\displaystyle x_{ij}}$ равно или 1 (принадлежит маршруту) или 0 (не принадлежит). То есть, полученная сумма равна количеству ребер в маршруте, имеющих вершину ${\displaystyle i}$ на одном из концов. Она равна 2, так как каждая вершина имеет входное и выходное ребро. В приведенном рядом рисунке вершина ${\displaystyle i}$ показана с входным и выходными ребрами, а ребра маршрута обозначены толстыми линиями. Рядом с ребрами указаны длины ${\displaystyle x_{ij}}$, прилагаемые к указанной выше сумме.

Циклы: переменные удовлетворяют условию кратности, но не определяют маршрут.

Описанные ранее условия кратности выполняются не только маршрутами, но и значениями переменных, соответствующих отдельным циклам, где каждая вершина принадлежит лишь одному циклу (см. рисунок). Чтобы избежать подобных случаев, должны выполняться так называемые неравенства циклов (или условия устранения подмаршрутов), которые были определены Данцигом, Фалкерсоном и Джонсоном в 1954 году под названием условия петель (англ. loop conditions). Этими неравенствами определялось дополнительное условие того, что каждое множество вершин ${\displaystyle S\subset V}$ является либо пустым, либо содержит все вершины, сочетающееся с остальным вершинам через минимум два ребра:

${\displaystyle \sum _{i\in S,\;j\notin S}x_{ij}\geqslant 2\qquad (2)}$

для всех множеств вершин ${\displaystyle S}$, где ${\displaystyle 1\leqslant |S|\leqslant |V|-1}$. Эта сумма равна сумме длин ребер маршрута между вершиной ${\displaystyle i\in S}$ и вершиной ${\displaystyle j\notin S}$. Чтобы устранить лишние неравенства, можно ограничиться множествами вершин ${\displaystyle S}$ с минимум двумя и максимум ${\displaystyle |V|-2}$ вершинами. На рисунке рядом ребра ${\displaystyle \{i,j\}}$ с длинами ${\displaystyle x_{ij}=1}$ обозначены толстыми линиями, остальные ребра имеют длину ${\displaystyle x_{ij}=0}$. Введение дополнительных условий (2) для множества вершин ${\displaystyle S}$, состоящего из трех левых вершин, будет гарантировать, что ${\displaystyle S}$ сочетается через минимум два ребра маршрута с тремя вершинами справа, чтобы устранить оба цикла. Количество неравенств устранения циклов согласно Данцигу, Фалкерсону и Джонсону равняется ${\displaystyle 2^{n}-2(n-1)}$.

В 1960 году Миллер, Такер и Землин изобрели альтернативные условия устранения подмаршрутов путём введения ${\displaystyle n}$ новых переменных, определяющих порядок посещенных городов, требующих только ${\displaystyle n^{2}-n+1}$ дополнительных неравенств. Более того, из-за двойственности ${\displaystyle x_{ij}}$ в формулировках Миллера, Такера и Землина задача коммивояжёра остается NP-сложной.

Так, каждый вектор с элементами, равными 0 и 1, удовлетворяющий всем неравенствам, определяет корректный маршрут, который является решением переформулированной задачи коммивояжёра: вычислить

${\displaystyle \min \;\left\{\sum _{i\in V}\sum _{j\in V\setminus \{i\}}c_{ij}x_{ij}\;|\;x{\mbox{ valid (1) (2),}}\;x_{ij}\in \{0,1\}\right\}.\qquad (3)}$

Поскольку переменные ${\displaystyle x_{ij}}$ имеют значения только 0 и 1, сумма равна общей длине ${\displaystyle c_{ij}}$ ребер ${\displaystyle \{i,j\}}$, принадлежащих маршруту.

Количество неравенств типа (2) растет экспоненциально по мере увеличения количества городов, поскольку почти каждое из ${\displaystyle 2^{|V|}}$ подмножеств узлов определяет одно неравенство. Эту задачу можно решить применением метода отсечения плоскостью, благодаря которому неравенства добавляются, только когда эти неравенства действительно необходимы. С геометрической точки зрения, линейные неравенства можно представить как гиперплоскости в пространстве переменных. Множество векторов, удовлетворяющих этим неравенствам, образуют в таком пространстве политоп (многомерный многогранник), или многомерный многоугольник, точная форма определяется длинами ${\displaystyle c_{ij}}$ и является в основном неизвестной. Однако, можно показать, что условия (1) и (2) определяют грани (фацет) политопа, то есть боковые поверхности политопа с наивысшей размерностью. Поэтому они относятся к самым сильным линейным неравенствам, которые могут описывать маршрут. Также существует много разных граней, определяемых неравенствами, известными лишь в немногих случаях. Хотя (1) и (2) вместе с ограничениями полностью моделируют задачу только для двоичных векторов, эти неравенства могут использоваться в методе ветвей и границ, чтобы отбросить решения методами линейной оптимизации с нецелыми координатами (см. раздел точные методы ниже).

• полный перебор
• случайный перебор
• жадные алгоритмы
  • метод ближайшего соседа
  • метод включения ближайшего города
  • метод самого дешёвого включения
• метод минимального остовного дерева
• метод имитации отжига

Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра — методы эвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time-алгоритмы^{[уточнить]}, то есть, постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Существуют также постановки, в которых задача коммивояжёра становится NP-полной. Обычно такие постановки выглядят следующим образом: существует ли на заданном графе G такой обход, что его стоимость не превышает x. Часто на ней проводят обкатку новых подходов к эвристическому сокращению полного перебора.

На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии.

Можно найти точное решение задачи коммивояжёра, то есть «вручную» вычислить длины всех возможных маршрутов и выбрать маршрут с наименьшей длиной. Однако даже для небольшого количества городов решать задачу таким способом практически невозможно. Для простого варианта, симметричной задачи с ${\displaystyle n}$ городами, существует ${\displaystyle (n-1)!/2}$ возможных маршрутов, то есть для 15 городов существует 43 миллиарда маршрутов и для 18 городов уже 177 триллионов. То, как стремительно растет продолжительность вычислений, можно показать на следующем примере. Если бы существовало устройство, находящее решение для 30 городов за час, то для двух дополнительных городов требуется в тысячу раз больше времени; то есть, более чем 40 суток.

Задача коммивояжёра для трех городов: красная пунктирная плоскость ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqslant 2}$ отсекает все недопустимые решения с максимум одним ребром. Все точки в красном политопе удовлетворяют этому неравенству, и единственная допустимая точка это (1, 1, 1).

Методы дискретной оптимизации, в частности ветвей и границ, позволяют находить оптимальные или приблизительные решения для достаточно больших задач.

В геометрической интерпретации эти методы рассматривают задачу как выпуклый политоп, то есть многомерный многоугольник в ${\displaystyle m}$-мерном единичном кубе ${\displaystyle [0,1]^{m}}$, где ${\displaystyle m}$ равно количеству ребер в графе. Каждая вершина этого единичного куба соответствует маршруту, то есть вектору с элементами 0/1, что удовлетворяет описанным выше линейным неравенствам. Гиперплоскости, описываемые этими неравенствами, отсекают такие ребра единичного куба, которые не соответствуют ни одному маршруту.

На рисунке рядом показано применение метода для задачи с тремя узлами. В соответствие трем возможным ребрам между вершинами сопоставляются бинарные переменные ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{3}}$. В этом случае существует лишь один возможный маршрут, а именно тот, что проходит через три вершины. Этот маршрут удовлетворяет неравенству ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqslant 2}$, которое утверждает, что маршрут должен проходить через минимум две вершины. Кроме этого маршрута, что соответствует вектору (1,1,1), неравенству удовлетворяют также все точки в отмеченной красным части этого неравенства. Плоскости, проходящие через красные линии, отсекают все углы, отвечающие несуществующим маршрутам с максимум одним ребром, а именно, ноль-вектор (0, 0, 0), единичные векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Сильное неравенство ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqslant 3}$ отсечет от единичного куба все, кроме единственной допустимой точки (1, 1, 1). В этом отдельном случае тот же эффект можно получить тремя неравенствами типа (1).

Для определения допустимого ребра с наименьшей длиной следует решить наборы задач линейной оптимизации, отсекающие секущими плоскостями ненужные части единичного куба и попытаться разделить единичный куб на меньшие политопы методом ветвей и границ.

Однако этого метода для быстрого поиска маршрутов обычно недостаточно. Основное преимущество точных методов заключается в том, что имея достаточно времени, они вычисляют кратчайший маршрут. Имея нижнюю границу для оптимальных решений, можно оценить то, насколько отличается найденный маршрут от оптимального. Например, имея нижнюю границу на уровне 100, и после нахождения маршрута длиной 102, оптимальный маршрут может находиться в пределах от 100 до 102. Так называемый интервал оптимальности, или максимальное относительное расстояние между длиной оптимального маршрута и кратчайшим известным маршрутом составит (102—100)/100 = 2 %, то есть длина найденного маршрута 102 максимум на 2 % отличается от оптимальной. Когда длина вычисленного маршрута равна длине предыдущего, считается, что найденное решение является оптимальным. Для поиска маршрутов приемлемой длины точные методы могут комбинироваться с эвристическими.

Метод ветвей и границ для решения задачи коммивояжёра был предложен в 1963 году группой авторов (Дж. Литл, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэрол)[3].

В 1987 году его использовали Дурбин (Durbin) и Уиллшоу (Willshaw), указавшие аналогию с механизмами установления упорядоченных нейронных связей[4].

Каждый из маршрутов коммивояжёра рассматривался как отображение окружности на плоскость (в каждый город на плоскости отображается некоторая точка этой окружности). Соседние точки на окружности должны отображаться в точки, по возможности ближайшие и на плоскости.

Начинается с установки на плоскость небольшой окружности. Она неравномерно расширяется, становясь кольцом, проходящим практически около всех городов и устанавливая таким образом искомый маршрут. На каждую движущуюся точку кольца оказывает действие две составляющие: перемещение точки в сторону ближайшего города и смещение в сторону соседей точки на кольце так, чтобы уменьшить его длину. Город в итоге связывается с определенным участком кольца по мере расширения. По мере расширения такой эластичной сети каждый город оказывается ассоциирован с определенным участком кольца.

Вначале все города оказывают приблизительно одинаковое влияние на каждую точку маршрута. В последующем, большие расстояния становятся менее влиятельными и каждый город становится более специфичным для ближайших к нему точек кольца. Такое постепенное увеличение специфичности, которое напоминает метод обучения сети Кохонена, контролируется значением некоторого эффективного радиуса.

Дурбин и Уиллшоу показали, что для задачи с 30 городами, рассмотренной Хопфилдом и Танком, метод эластичной сети генерирует наикратчайший маршрут примерно за 1000 итераций. Для 100 городов найденный этим методом маршрут лишь на 1 % превосходил оптимальный.

Основная идея заключается в вычислении и запоминании пути от исходного города и до каждого из остальных городов, затем суммирования этой величины с путем из каждого из остальных городов до оставшихся городов и т. д. Преимущество данного метода ${\displaystyle D}$ перед методом полного перебора ${\displaystyle F}$ заключается в существенном сокращении полного объема вычислений ${\displaystyle P_{D}=(6n-1)-n2^{n-1}+4n(n-1)2^{n-2},P_{F}=n!\approx n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}},P_{D}\ll P_{F}}$ за счет заметного увеличения объема памяти ${\displaystyle Q_{D}\sim 2^{n}{\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},Q_{F}=2,Q_{D}\gg Q_{F}}$[5].