Задача о покрытии множества

В качестве примера задачи о покрытии множества можно привести следующую проблему: представим себе, что для выполнения какого-то задания необходим некий набор навыков ${\displaystyle S}$. Также есть группа людей, каждый из которых владеет некоторыми из этих навыков. Необходимо сформировать наименьшую подгруппу, достаточную для выполнения задания, т.е. включающую в себя носителей всех необходимых навыков.

Жадный алгоритм выбирает множества руководствуясь следующим правилом: на каждом этапе выбирается множество, покрывающее максимальное число ещё не покрытых элементов.

Greedy-Set-Cover(U,F), где ${\displaystyle U}$ — заданное множество всех элементов, ${\displaystyle F}$ — семейство подмножеств ${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle X\leftarrow U}$
2. ${\displaystyle C\leftarrow \varnothing }$
3. while ${\displaystyle X\not =\varnothing }$ do
   1. выбираем ${\displaystyle S\in F}$ с наибольшим ${\displaystyle \mid X\cap S\mid }$
   2. ${\displaystyle X\leftarrow X\setminus S}$
   3. ${\displaystyle C\leftarrow C\cup \{S\}}$
4. return ${\displaystyle C}$

Можно показать, что этот алгоритм работает с точностью ${\displaystyle O(H(s))}$, где ${\displaystyle s}$ — мощность наибольшего множества, а ${\displaystyle H(n)}$ — это сумма первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда.

${\displaystyle H(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\leq \ln {n}+1}$

Другими словами, алгоритм находит покрытие, размер которого не более чем в ${\displaystyle H(s)}$ раз превосходит размер минимального покрытия.

Упрощённый пример работы жадного алгоритма для k = 3

Существует стандартный пример, на котором жадный алгоритм работает с точностью ${\displaystyle \log _{2}(n)/2}$.

Универсуум состоит из ${\displaystyle n=2^{(k+1)}-2}$ элементов. Набор множеств состоит из ${\displaystyle k}$ попарно не пересекающихся множеств ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{k}}$, мощности которых ${\displaystyle 2,4,8,\ldots ,2^{k}}$ соответственно. Также имеются два непересекающихся множества ${\displaystyle T_{0},T_{1}}$, каждое из которых содержит половину элементов из каждого ${\displaystyle S_{i}}$. На таком наборе жадный алгоритм выбирает множества ${\displaystyle S_{k},\ldots ,S_{1}}$, тогда как оптимальным решением является выбор множеств ${\displaystyle T_{0}}$ и ${\displaystyle T_{1}}$ Пример подобных входных данных для ${\displaystyle k=3}$ можно увидеть на рисунке справа.

Генетический алгоритм представляет собой эвристический метод случайного поиска, основанный на принципе имитации эволюции биологической популяции.

В общем случае в процессе работы алгоритма происходит последовательная смена популяций, каждая из которых является семейством покрытий, называемых особями популяции. Покрытия начальной популяции строятся случайным образом. Наиболее распространённая и лучше всего зарекомендовавшая себя — стационарная схема генетического алгоритма, в которой очередная популяция отличается от предыдущей лишь одной или двумя новыми особями. При построении новой особи из текущей популяции с учётом весов покрытий выбирается «родительская» пара особей ${\displaystyle J^{\prime },J''}$, и на их основе в процедуре кроссинговера (случайно или детерминированно) формируется некоторый набор покрывающих множеств ${\displaystyle J_{x}}$. Далее подвергается мутации, после чего из него строится особь, которая замещает в новой популяции покрытие с наибольшим весом. Обновление популяции выполняется некоторое(заданное) число раз, и результатом работы алгоритма является лучшее из найденных покрытий.

Часто задача о покрытии множества формулируется, как задача целочисленного программирования[1]:

Требуется найти ${\displaystyle f^{*}(c,A)=\min\{(c,x)|Ax\geq e,x\in \{0,1\}^{n}\}}$, где ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle (m\times n)}$ матрица, причём ${\displaystyle a_{ij}}$ = 1, если ${\displaystyle i\in S_{j}}$, и ${\displaystyle a_{ij}}$ = 0 в противном случае; ${\displaystyle e}$ обозначает ${\displaystyle m}$ — вектор из единиц; ${\displaystyle c=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})^{T}}$; ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T}}$ — вектор, где ${\displaystyle x_{j}=1}$, если ${\displaystyle S_{j}}$ входит в покрытие, иначе ${\displaystyle x_{j}=0}$.

Точное решение может быть получено за полиномиальное время, в случае, когда матрица ${\displaystyle A}$ вполне унимодулярна. Сюда можно отнести и задачу о вершинном покрытии на двудольном графе и дереве. В частности, когда каждый столбец матрицы ${\displaystyle A}$ содержит ровно две единицы, задачу можно рассматривать как задачу рёберного покрытия графа, которая эффективно сводится к поиску максимального паросочетания. На классах задач, где ${\displaystyle n}$ или ${\displaystyle m}$ ограничены константой, задача за полиномиальное время решается методами полного перебора.