Дедекиндово кольцо

В XIX веке стало распространённой техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$, довольно естественно разложить квадратичную форму на множители ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$, разложение происходит в кольце целых квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$. Сходным образом, для натурального ${\displaystyle n}$ многочлен ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ (который возникает при решении уравнения Ферма ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$) можно разложить в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$, где ${\displaystyle \zeta _{n}}$ — примитивный ${\displaystyle n}$-й корень из единицы.

При малых значениях ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма (${\displaystyle m=1,n=4}$) и Эйлера (${\displaystyle m=2,3,n=3}$) в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай ${\displaystyle D<0}$: он нашел девять значений ${\displaystyle D}$, удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).

К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых ${\displaystyle p}$, таких что кольцо целых поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.

Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо ${\displaystyle R}$ является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Для целостного кольца ${\displaystyle R}$, не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:

• Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
• ${\displaystyle R}$ нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
• Любой дробный идеал кольца ${\displaystyle R}$ обратим;
• ${\displaystyle R}$ целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовал Н. Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.

Кольцо ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$ алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.

Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.

Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.

Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что ${\displaystyle xI\subset R.}$

Для двух дробных идеалов I, J можно определить их произведение IJ как множество всех конечных сумм ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in I,\ j_{n}\in J}$: произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.}$

Очевидно, ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$. Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — ${\displaystyle I^{*}}$.

Главный дробный идеал — это дробный идеал вида ${\displaystyle xR}$ для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для ${\displaystyle xR}$ — это просто ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$. Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).

Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = ${\displaystyle K^{*}/R^{*}}$, поскольку ${\displaystyle xR}$ и ${\displaystyle yR}$ совпадают тогда и только тогда, когда ${\displaystyle xy^{-1}}$ — обратимый элемент R.

Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.

Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.

Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.

Напомним формулировку структурной теоремы для модуля ${\displaystyle M}$ над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения ${\displaystyle T}$ как множество таких элементов ${\displaystyle m}$ кольца ${\displaystyle M}$, что ${\displaystyle rm=0}$ для некоторого ненулевого ${\displaystyle r}$ из ${\displaystyle R}$. Тогда:

(1) ${\displaystyle T}$ можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид ${\displaystyle R/I}$ для некоторого ненулевого идеала ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$. По китайской теореме об остатках, каждый ${\displaystyle R/I}$ можно разложить в прямую сумму модулей вида ${\displaystyle R/P^{i}}$, где ${\displaystyle P^{i}}$ — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля ${\displaystyle T}$ единственно с точностью до порядка сомножителей.

(2) Существует дополняющий подмодуль ${\displaystyle P}$ модуля ${\displaystyle M}$, такой что ${\displaystyle M=T\oplus P}$.

(3) ${\displaystyle P}$ изоморфен ${\displaystyle R^{n}}$ для однозначно определённого неотрицательного целого ${\displaystyle n}$. В частности, ${\displaystyle P}$ — конечнопорождённый свободный модуль.

Теперь пусть ${\displaystyle M}$ — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение

(3') ${\displaystyle P}$ изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$. Более того, для любых проективных модулей ранга 1 ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

выполняется тогда и только тогда, когда

${\displaystyle r=s}$

и

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.}$

Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга ${\displaystyle n>0}$ без кручения можно записать в виде ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$, где ${\displaystyle I}$ — проективный модуль ранга 1. Класс Штайница модуля P над R — это класс ${\displaystyle [I]}$ идеала ${\displaystyle I}$ в группе Cl(R), он однозначно определён[1]. Из этого следует

Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$, где K₀(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорождённых проективных R-модулей.

Эти результаты были установлены Эрнстом Штайницем в 1912 году.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Claborn, Luther (1965), Dedekind domains and rings of quotients, Pacific J. Math. Т. 15: 59–64, <http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991>
• Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group, Pacific J. Math. Т. 18: 219–222, <http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263>
• Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited, L'Enseignement Mathematique Т. 55: 213–225, <http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf> Архивная копия от 16 мая 2018 на Wayback Machine
• Fröhlich, A. & Taylor, M.J. (1991), II. Dedekind domains, Algebraic number theory, vol. 27, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, с. 35-101, ISBN 0-521-36664-X
• Leedham-Green, C.R. (1972), The class group of Dedekind domains, Trans. Amer. Math. Soc. Т. 163: 493–500, DOI 10.2307/1995734
• Rosen, Michael (1976), Elliptic curves and Dedekind domains, Proc. Amer. Math. Soc. Т. 57 (2): 197–201, DOI 10.2307/2041187
• Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern, Math. Ann. Т. 71 (3): 328–354, DOI 10.1007/BF01456849