Арифметические исследования (Гаусс)

Древнегреческие математики разработали несколько тем, относящихся к теории чисел. Они дошли до нас в VII—IX книгах «Начал» Евклида (III век до н. э.) и включали важнейшие понятия теории делимости: деление нацело, деление с остатком, делитель, кратное, простое число, алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

Далее развитие теории чисел возобновилось только спустя два тысячелетия. Автором новых идей стал Пьер Ферма (XVII век). В числе прочих, он открыл неизвестное древним свойство делимости (малая теорема Ферма), имеющее фундаментальный характер. Исследования Ферма были продолжены и углублены Эйлером, который основал теорию квадратичных и других степенных вычетов, открыл «тождество Эйлера». Несколько крупных открытий сделал Лагранж, а Лежандр опубликовал монографию «Опыт теории чисел» (1798), первое в истории обстоятельное изложение данного раздела математики. К концу XVIII века был достигнут прогресс в изучении непрерывных дробей, решении различных типов уравнений в целых числах (Валлис, Эйлер, Лагранж), было положено начало исследованию распределения простых чисел (Лежандр).

Гаусс начал работу над своей книгой ещё в 20-летнем возрасте (1797). Из-за неспешности работы местной типографии работа над книгой растянулась на 4 года; кроме того, по правилу, которому он был верен всю жизнь, Гаусс стремился публиковать только завершённые исследования, пригодные для непосредственного практического применения. В отличие от Лежандра, Гаусс предложил не просто перечень теорем, но систематическое изложение теории на основе единых идей и принципов. Все рассмотренные проблемы доведены до уровня алгоритма, книга содержит множество численных примеров, таблиц и пояснений[3] [4].

Книга состоит из посвящения и семи разделов, разделённых на параграфы, имеющие сквозную нумерацию. В посвящении Гаусс выражает благодарность своему покровителю Карлу Вильгельму Фердинанду, герцогу Брауншвейгскому (из русского перевода 1959 года посвящение изъято).

Первые три раздела по существу не содержат новых результатов, хотя в идейно-методическом плане также представляют немалую ценность.

Раздел 1. О сравнимости чисел вообще,

Здесь Гаусс, обобщая исследования Эйлера, вводит ключевое понятие сравнения целых чисел по модулю и удобную символику этого отношения, сразу укоренившуюся в математике:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

Приводятся свойства отношения сравнения, как сближающие его с отношением равенства, так и специфичные для отношения сравнения. Далее вся теория чисел строится «на языке сравнений». В частности, впервые в истории строится факторкольцо классов вычетов[5].

Раздел 2. О сравнениях первой степени.

В начале раздела рассматриваются различные свойства делимости. Среди них (в параграфе 16) впервые полностью формулируется и доказывается основная теорема арифметики — в отличие от предшественников, Гаусс ясно указывает, что разложение на простые множители единственно: «каждое составное число может быть разложено на простые сомножители только одним-единственным образом».

Далее рассматривается решение сравнения первой степени:

${\displaystyle ax+t\equiv 0{\pmod {p}}}$

и систем таких сравнений.

Раздел 3. О степенных вычетах,

В этом разделе и в следующих автор переходит к сравнениям степени выше первой для простого модуля ${\displaystyle p}$. Исследуя вычеты, Гаусс доказывает существование первообразных корней для простого модуля (у Эйлера строгое доказательство этого отсутствует). Доказывается теорема Лагранжа: сравнение степени ${\displaystyle n}$ по простому модулю имеет не более ${\displaystyle n}$ не сравнимых между собой решений.

Раздел 4. О сравнениях второй степени.

Здесь Гаусс доказывает знаменитый квадратичный закон взаимности, который заслуженно назвал «золотой теоремой» (лат. theorema aureum). Впервые его формулировку дал Эйлер в 1772 году (опубликовано в «Opuscula Analytica», 1783), Лежандр пришёл к этой теореме независимо (1788 год), однако доказать закон ни тот, ни другой не сумели. Гаусс искал пути к доказательству целый год. Закон взаимности позволяет, в частности, для заданного целого числа ${\displaystyle a}$ найти модули, по которым ${\displaystyle a}$ является вычетом (или, наоборот, невычетом).

Раздел 5. О формах и неопределённых уравнениях второй степени.

Это самый обширный раздел книги. В начале раздела Гаусс даёт ещё одно доказательство квадратичного закона взаимности (позднее он предложил ещё шесть, а в 1832 году опубликовал (без доказательства) биквадратичный закон взаимности для вычетов 4-й степени). Далее подробно излагается теория квадратичных форм, решающая вопрос, какие значения могут принимать выражения вида ${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ с целочисленными коэффициентами[6].

Раздел состоит из 4 частей:

1. Классификация, теория представления целых чисел бинарными квадратичными формами вида ${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$, решение в целых числах общего неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными. Эти результаты уже были получены ранее, в основном Лагранжем.
2. Теория композиции классов бинарных квадратичных форм и теорию их родов.
3. Теория тернарных квадратичных форм, положившая начало арифметической теории квадратичных форм от многих переменных.
4. Практические приложения теории форм: доказательство теоремы о родах, теория разложения чисел в сумму трёх квадратов или трёх треугольных чисел, решение неопределённого уравнения ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$, решение общего неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными в рациональных числах и соображения о среднем числе классов в роде.

Значительная часть раздела носит общеалгебраический характер, и впоследствии этот материал был перенесен в общую теорию групп и колец.

Раздел 6. Различные применения предыдущих исследований.

Гаусс решает несколько практически важных задач.

• Рассмотрим дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}},}$ где знаменатель ${\displaystyle n}$ можно представить как произведение взаимно простых чисел: ${\displaystyle n=abc\dots }$ Тогда дробь допускает разложение:

${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {u}{a}}+{\frac {v}{b}}+{\frac {w}{c}}+\dots }$

• Теория представления обыкновенных дробей периодическими десятичными дробями — досконально исследуются зависимость длины периода от знаменателя дроби, закон образования цифр периода, связь с первообразными корнями.
• Метод решения сравнения ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {m}}}$, не требующий использования таблиц индексов.
• Метод решения уравнения ${\displaystyle mx^{2}+ny^{2}=a}$ в целых числах.
• Два метода проверки, является ли заданное целое число простым.

Раздел 7. Об уравнениях, от которых зависит деление круга.

Деление круга на ${\displaystyle n}$ равных частей или, что эквивалентно, построение правильного вписанного в круг ${\displaystyle n}$-угольника, алгебраически может быть описано как решение уравнения деления круга ${\displaystyle x^{n}-1=0}$ на комплексной плоскости. Корни этого уравнения называются «корни из единицы». Если, в соответствии с античными принципами, ограничиться только величинами, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, то встаёт вопрос: для каких значений ${\displaystyle n}$ такое построение возможно, и как его практически осуществить[7].

Гаусс впервые решил эту древнюю проблему исчерпывающим образом. Древние греки умели делить круг на ${\displaystyle n}$ частей для следующих значений ${\displaystyle n:}$

${\displaystyle 2^{k};\quad 3\cdot 2^{k};\quad 5\cdot 2^{k};\quad 15\cdot 2^{k}}$

Гаусс сформулировал критерий, который позже получил название «теорема Гаусса — Ванцеля»: построение возможно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n}$ может быть представлено в виде[7]:

${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\dots p_{t}\cdot 2^{k},}$

где ${\displaystyle p_{1},p_{2}\dots p_{t}}$ — различные простые числа вида ${\displaystyle 2^{m}+1.}$

Корни уравнения деления круга всегда могут быть выражены «в радикалах», но, вообще говоря, это выражение содержит радикалы степени выше второй, а применение циркуля и линейки позволяет извлекать только квадратные корни. Поэтому критерий Гаусса отбирает те и только те значения ${\displaystyle n,}$ для которых степени радикалов не выше второй. В частности, Гаусс показал, как построить правильный 17-угольник, выведя формулу:

${\displaystyle \cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)}$

Поскольку эта формула содержит только квадратные корни, все входящие в неё величины можно построить циркулем и линейкой. Гаусс гордился этим открытием и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своем надгробном памятнике[8]. Он уверенно заявил, что все попытки построить циркулем и линейкой правильный семиугольник, 11-угольник и т. п. будут безуспешны.

В «Арифметических исследованиях» содержится только доказательство достаточности критерия Гаусса, а доказательство необходимости, по словам автора, опущено, так как «границы настоящего сочинения не позволяют привести здесь это доказательство». Однако ни в трудах, ни в архиве учёного опущенное доказательство не найдено; его впервые опубликовал французский математик Пьер Лоран Ванцель в 1836 году[7] [9].

Гаусс в 1803 году

Создателями теории чисел историки заслуженно называют Ферма и Эйлера, но создателем современной теории чисел следует назвать Гаусса, идеи которого задали направление дальнейшего прогресса теории[10]. Одним из главных достижений «Арифметических исследований» стало постепенное осознание математическим сообществом того факта, что многие проблемы теории чисел (и, как вскоре выяснилось, не только этой теории) связаны с необычными алгебраическими структурами, свойства которых предстояло изучить. Неявно в книге Гаусса уже использовались структуры групп, колец и полей, в том числе конечных, и решение изложенных в книге проблем часто заключалось в учёте их свойств и особенностей. Уже в данной книге Гаусс опирается на нестандартную (модулярную) арифметику; в более поздних работах он использует непривычную арифметику целых комплексных (гауссовых) чисел. По мере накопления материала необходимость в общей теории новых структур становилась всё более ясной.

Стиль «Арифметических исследований» подвергся критике за (местами) излишнюю краткость; тем не менее монография заслужила восторженную оценку Лагранжа, в его письме к Гауссу (1804 год) говорится: «Ваши «Исследования» сразу же возвысили Вас до уровня первых математиков, и я считаю, что последняя часть содержит самое красивое аналитическое открытие среди сделанных на протяжении длительного времени[11].

Далее исследования Гаусса были развиты в первую очередь самим Гауссом, который опубликовал ещё несколько работ по теории чисел, из них особый резонанс вызвали:

• 1811: «Суммирование некоторых рядов особого вида».
• 1828—1832: «Теория биквадратичных вычетов». В ней впервые появились гауссовы числа.

Пионерские работы Гаусса были продолжены Нильсом Абелем, который доказал невозможность решения в радикалах общего уравнения пятой степени. В теории алгебраических чисел работы Гаусса продолжили Якоби, Эйзенштейн и Эрмит. Якоби нашёл закон взаимности для кубических вычетов (1839) и исследовал кватернарные формы. Коши изучил общее неопределённое тернарное кубическое уравнение (1816). У Дирихле, преемника Гаусса на геттингенской кафедре, «Арифметические исследования» были настольной книгой, с которой он почти не расставался, и во многих своих работах он развивал идеи Гаусса. Крупным вкладом Куммера стала разработка теории идеалов, решившей многие алгебраические проблемы[12].

Решающим шагом в создании новой алгебры стали работы Эвариста Галуа и Артура Кэли, с которых начинается формирование современной общей алгебры.

• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
• Делоне Б. Н. Работы Гаусса по теории чисел // Карл Фридрих Гаусс. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 879—976. — 297 с. — (Классики науки).
• Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — 432 с.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978.

• Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел Серия: Наука. Величайшие теории. Выпуск № 8 (2015). ISBN 2409-0069.168 с.