142 857 (число)

142 857 (сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь) — натуральное число, расположенное между числами 142 856 и 142 858. Оно не является простым числом, а относительно последовательности простых чисел расположено между 142841 и 142867[1].

142 857
сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь
← 142 855 · 142 856 · 142 857 · 142 858 · 142 859 →
Разложение на множители 33· 11 · 13 · 37
Римская запись CXLMMDCCCLVII
Двоичное 100010111000001001
Восьмеричное 427011
Шестнадцатеричное 22E09
 Медиафайлы на Викискладе

Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число
Умножение 142 857 на 1,2,3,4,5,6

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857[2].

1 × 142 857 = 142 857
2 × 142 857 = 285 714
3 × 142 857 = 428 571
4 × 142 857 = 571 428
5 × 142 857 = 714 285
6 × 142 857 = 857 142
7 × 142 857 = 999 999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно , и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999[2]:

000008 × 142857 = 11428560000 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)
000042 × 142857 = 59999940000 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)
142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на или на соответственно) также можно получить сдвигом:

142 857 / 2 = 71 428.5
142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

Как период обыкновенной дроби

Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами[2][3][4]:

1/7 = 0.14285714285714285714…
2/7 = 0.28571428571428571428…
3/7 = 0.42857142857142857142…
4/7 = 0.57142857142857142857…
5/7 = 0.71428571428571428571…
6/7 = 0.85714285714285714285…

Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби)[2][4]. Первые несколько значений n, для которых длина периода дроби 1/n в десятичной записи равна n - 1, равны 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131[2][5].

Другие операции

Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99[2].

Другие свойства

142 857 является также числом харшад[6]:

и числом Капрекара[7][2][3]:

См. также

Примечания
  1. Свойства числа 142857 ru.numberempire.com
  2. David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
  3. Robert Munafo. 142857. Notable Properties of Specific Numbers at MROB.
  4. Robert Munafo. 7. Notable Properties of Specific Numbers at MROB.
  5. Последовательность A006883 в OEIS = Long period primes: the decimal expansion of 1/p has period p-1.
  6. Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits.
  7. Последовательность A006886 в OEIS = Kaprekar numbers: n such that n=q+r and n^2=q*10^m+r, for some m >= 1, q>=0 and 0<=r<10^m, with n != 10^a, a>=1.

Литература
  • Мартин Гарднер. Лучшие математические игры и головоломки. — М.: АСТ, Астрель, 2009. — С. 111—121. — ISBN 978-5-17-058244-0 («Издательство АСТ»), 978-5-271-23247-3 («Издательство Астрель»).
  • Яков Перельман. Магические кольца // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М.: Детгиз, 1954. — С. 90—96.
  • David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
  • Joe Roberts. Lure of the Integers (англ.). — MAA, 1992. — P. 26. — ISBN 0-88385-502-X.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.