Уравнение Риккати

Частный случай такого уравнения:

${\displaystyle b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)}$

где ${\displaystyle \alpha ,\,a,\,b}$ — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший)[5][6][7]. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: ${\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,}$ или ${\displaystyle \alpha =-2.}$ Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях ${\displaystyle \alpha }$ решение уравнения ${\displaystyle (**)}$ нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида ${\displaystyle (*)}$ часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида ${\displaystyle (**)}$ — специальным уравнением Риккати.

• Уравнение Риккати в случае ${\displaystyle a(t)=0}$ является линейным и интегрируется в квадратурах.
• Уравнение Риккати в случае ${\displaystyle c(t)=0}$ является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены ${\displaystyle y=1/x.}$
• Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати.
• Если ${\displaystyle x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)}$ — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{4}}$ постоянной интегрирования, то имеет место тождество

${\displaystyle {\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t)}}:{\frac {x_{4}(t)-x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)}$

• Левая часть тождества ${\displaystyle (***)}$ — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле ${\displaystyle (***)}$.

• В римановой геометрии уравнению Риккати

  ${\displaystyle S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0}$

удовлетворяют операторы формы для эквидистанционных поверхностей вдоль перпендикулярной к ним геодезической с касательным полем ${\displaystyle T}$. Как и уравнение Якоби, это уравнение применяется при исследовании геодезических.

Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)}$

относительно неизвестной квадратной матрицы ${\displaystyle X=(x_{ij})}$ порядка ${\displaystyle n}$, в котором ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},C}$ — заданные квадратные матрицы порядка ${\displaystyle n}$ с зависящими от переменной ${\displaystyle t}$ коэффициентами.

В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{-1}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t)}$

относительно неизвестной квадратной матрицы ${\displaystyle W=(w_{ij})}$ порядка ${\displaystyle n}$, в котором ${\displaystyle P,Q,R}$ — заданные квадратные матрицы порядка ${\displaystyle n}$ с зависящими от переменной ${\displaystyle t}$ коэффициентами, причем ${\displaystyle \det P\neq 0,}$ звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала

${\displaystyle J=\int f(t,x,{\dot {x}})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

в стационарной точке ${\displaystyle {\widehat {x}}(\cdot ).}$ При этом матрицы

${\displaystyle P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot {x}}_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)}.}$

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
• Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation