Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) или вещественные (${\displaystyle \mathbb {R} }$) числа, ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ — соответственно комплексные или вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1].

Возможно обобщение на кватернионы[2].

Вырожденные случаи[1]:

• если

${\displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,}$

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;

• если ранг матрицы

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)}$

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции[1]:

• ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;}$
• равен двум ранг матрицы

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).}$

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — вещественные числа, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — вещественные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1].

Функция одного переменного

Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция ${\displaystyle {\frac {2x-1}{x+2}}}$ с асимптотами ${\displaystyle x=-2/1=2}$ и ${\displaystyle y=2/1=2}$, ${\displaystyle ad-bc=5>0}$

В простейшем случае ${\displaystyle n=1}$ и действительных

${\displaystyle x_{1}=x,}$ ${\displaystyle a_{1}=a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1}=c,}$ ${\displaystyle d}$

график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами

${\displaystyle x=-d/c}$

и

${\displaystyle y=a/c,}$

параллельными осям координат:[1].

Функция двух переменных

Гиперболический параболоид

В случае ${\displaystyle n=2}$ и действительных ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle a_{1},}$ ${\displaystyle a_{2},}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1},}$ ${\displaystyle c_{2},}$ ${\displaystyle d}$ график дробно-линейной функции

${\displaystyle y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}}$

представляет собой гиперболический параболоид[1].

Комплексная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — комплексные числа, ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — комплексные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1].

При ${\displaystyle n=1}$ комплексная дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ —

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, за исключением точки ${\displaystyle z=-d/c}$, в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс[1].

При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ комплексная дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$ —

мероморфная функция в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексных переменных ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$, имеющая полярное множество

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}}$[1].

• Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4.
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
• Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил.
• Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.