Параметризованный постньютоновский формализм

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922[3]). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела[4]. Нордтведт (Nordtvedt, 1968[5], 1969[6]) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971[7]) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса[4].

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни (Ni, 1972[8]), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972[9]), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация[10], и Уилла[1][2], и имеют 10 параметров.

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля[11]. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности[12]. В обозначениях Уилла (Will, 1971[7]), Ни (Ni, 1972[8]) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973[10]) ППН параметры имеют условно следующее значение[13]:

${\displaystyle \gamma }$	Насколько сильная пространственная кривизна в ${\displaystyle g_{ij}}$ генерируется единицей массы покоя?
${\displaystyle \beta }$	Насколько велика нелинейность в ${\displaystyle g_{00}}$ при сложении гравитационных полей?
${\displaystyle \beta _{1}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей кинетической энергии ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$?
${\displaystyle \beta _{2}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей гравитационной потенциальной энергии ${\displaystyle \rho _{0}/U}$?
${\displaystyle \beta _{3}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей внутренней энергии тела ${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$?
${\displaystyle \beta _{4}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей давления ${\displaystyle p}$?
${\displaystyle \zeta }$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \eta }$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в ${\displaystyle g_{0j}}$ производится единицей импульса ${\displaystyle \rho _{0}v}$?
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ и ${\displaystyle \zeta =\eta =0}$[13].

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972[9]), используемой также в работах Уилла (1981[2], 2014[1]), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$,

${\displaystyle \beta =\beta }$,

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$,

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$,

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$,

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$,

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$,

${\displaystyle \xi }$ получается из ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$.

Смысл параметров ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира)[14]. ${\displaystyle \zeta _{1}}$, ${\displaystyle \zeta _{2}}$, ${\displaystyle \zeta _{3}}$, ${\displaystyle \zeta _{4}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса[15].

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$[16].

Вид метрики альфа-дзета варианта:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;}$,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала ${\displaystyle U}$, квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), ${\displaystyle w^{i}}$ — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, ${\displaystyle w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}}$ — квадрат этой скорости, а ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ если ${\displaystyle i=j}$ и ${\displaystyle 0}$ в противоположном случае — символ Кронекера[17].

Есть только десять простых метрических потенциалов: ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{ij}}$, ${\displaystyle \Phi _{W}}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Phi _{1}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}}$, ${\displaystyle \Phi _{3}}$, ${\displaystyle \Phi _{4}}$, ${\displaystyle V_{i}}$ и ${\displaystyle W_{i}}$[18], столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации[17]. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например[18],

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.}$

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973[19]), Уилла (1981[18], 2014[20]) и др.

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981[2]. Процесс состоит из девяти стадий[21]:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, гравитационное скалярное ${\displaystyle \phi }$, векторное ${\displaystyle K_{\mu }}$ и/или тензорное поле ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, космологическое время ${\displaystyle t}$ и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.

• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$, ${\displaystyle \phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$.

• Шаг 3: Вводим новые переменные ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$, а если необходимо, то и ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$.

• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ и прочих динамических гравитационных переменных.

• Шаг 5: Решаем уравнения для ${\displaystyle h_{00}}$ с точностью до ${\displaystyle O(2)}$. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$, где ${\displaystyle U}$ — гравитационный потенциал Ньютона, а ${\displaystyle \alpha }$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» ${\displaystyle G}$. Ньютонова метрика имеет форму ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$, ${\displaystyle g_{0j}=0}$, ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$. Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице ${\displaystyle G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$.

• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем ${\displaystyle h_{ij}}$ с точностью до ${\displaystyle O(2)}$ и ${\displaystyle h_{0j}}$ с точностью до ${\displaystyle O(3)}$.

• Шаг 7: Находим ${\displaystyle h_{00}}$ с точностью до ${\displaystyle O(4)}$. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.

• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.

• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ и поэтому ${\displaystyle \gamma =-1}$, что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза, метрика равна ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ и, следовательно, ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$, что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них ${\displaystyle \xi =\beta }$. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$, то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение ${\displaystyle \xi }$.

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$, и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$. Предел ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ даёт очень малое ${\displaystyle 1/\omega }$, которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на ${\displaystyle \omega }$ всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$, так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Значения взяты из обзора Уилла, 2014[23]

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
${\displaystyle \gamma -1}$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}}$	Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
${\displaystyle \beta -1}$	${\displaystyle 8\cdot 10^{-5}}$	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-9}}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-9}}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-20}}$	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle 0.02}$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle 10^{-8}}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
${\displaystyle \zeta _{4}}$	${\displaystyle 0.006}$‡	-	Не является независимым

‡ По ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ из работ Уилла (1976[24], 2014[1]). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$ из статьи Ни (1972[8]).

Основная

• Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M. The Confrontation between General Relativity and Experiment (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — doi:10.12942/lrr-2014-4. — . — arXiv:1403.7377. Архивировано 19 марта 2015 года.

Дополнительная

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
• Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — doi:10.1086/151677. — .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — doi:10.1103/PhysRev.169.1017. — .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — doi:10.1103/PhysRev.180.1293. — .
• Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — doi:10.1086/150804. — .
• Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — doi:10.1086/154164. — .
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — doi:10.1086/151754. — .

• Линеаризованная гравитация
• Проверка общей теории относительности
• Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории