Нормальная форма Чибрарио

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle F(x,y,p)=0,\ }$ где ${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}.}$

Функция ${\displaystyle F}$ предполагается вещественной, гладкой класса ${\displaystyle C^{\infty }}$ (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами ${\displaystyle (x,y,p)}$, лежащие на поверхности, задаваемой уравнением ${\displaystyle F=0}$, в которых производная ${\displaystyle F_{p}}$ обращается в нуль, т. е. проектирование ${\displaystyle \pi }$ поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$ на плоскость переменных ${\displaystyle x,y}$ вдоль направления оси ${\displaystyle p}$ нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$ кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость ${\displaystyle (x,y)}$ называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании ${\displaystyle \pi }$ различным точками поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$ может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных ${\displaystyle (x,y)}$[1][4][5].

Дифференциальное соотношение ${\displaystyle p=dy/dx}$ задает в пространстве ${\displaystyle (x,y,p)}$ поле контактных плоскостей ${\displaystyle pdx-dy=0}$. Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$, задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость ${\displaystyle (x,y)}$ — графиками решений[4][5]

Поднятие уравнения на поверхность

Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность[3].