Майорановский фермион

Математически, фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi (x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi (x,t),}$

где m — масса частицы, а матрицы α и β удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {α_i, α_j} = 2δ_ij, {α_i, β} = 0, β² = 1. Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде

${\displaystyle \alpha _{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{1}\\\sigma _{1}&0\end{pmatrix}},\quad \alpha _{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{3}\\\sigma _{3}&0\end{pmatrix}},\quad \alpha _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \beta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{pmatrix}},}$

благодаря чему в исходном уравнении все коэффициенты получаются мнимыми. Тогда уравнение, сопряжённое уравнению Дирака, не меняется:

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi ^{*}(x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi ^{*}(x,t).}$

Решению сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей (${\displaystyle \psi ^{*}=\psi }$) и называется майорановским фермионом[15]. Существует бесконечное множество матриц ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$[16].

Решениями этого уравнения выступает четырёхкомпонентный спинор, но такую систему из четырёх уравнений Майораны можно привести к виду двух независимых систем (из двух уравнений каждая) с решениями в виде левых (${\displaystyle \psi _{L}}$) и правых (${\displaystyle \psi _{R}}$) майорановских фермионов. Причём массы (m_L и m_R) в этих новых частицах не обязательно совпадают[2]:

${\displaystyle (i\partial _{t}-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\psi _{R}-im_{R}\sigma _{2}\psi _{R}^{*}=0,}$

${\displaystyle (i\partial _{t}+{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\psi _{L}-im_{L}\sigma _{2}\psi _{L}^{*}=0.}$

Эти уравнения можно получить, используя вариационный принцип в общем виде, исходя из лагранжиана электрослабого взаимодействия. Здесь интерес представляет выбор массового слагаемого в ланганжане, вид которого определяет дираковский или майорановский фермионы используются в теории[17]. Раньше такого вопроса не возникало из-за предположения о безмассовости нейтрино. Но открытие нейтринных осцилляций поставило вопрос о конечности масс этих истинно нейтральных фермионов. Если представить, что антинейтино и нейтрино на самом деле одна и та же частица (то есть майорановский фермион), то объяснение большой разницы в массах между нейтрино и другими лептонами может дать механизм качелей. Например, в этом случае, масса ненаблюдаемого экспериментально правого нейтрино велика по сравнению с массой электрона (m_D), а масса левого составит малую величину порядка ${\displaystyle m_{D}^{2}/m_{R}}$[18].

Рис. 1. Разбиение фермионов (первый ряд) на «полуфермионы» или майорановские фермионы в игрушечной модели Китаева в топологически тривиальном (второй ряд) и топологически нетрививальном (третий ряд) случаях[28].

Алексей Китаев[29] предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового p-волнового сверхпроводника в терминах вторичного квантования[30]

${\displaystyle H_{K}=\sum _{j=1}^{N}\left(-t(a_{j}^{\dagger }a_{j+1}+a_{j+1}^{\dagger }a_{j})-\mu \left(a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\Delta e^{i\theta }a_{j}a_{j+1}+\Delta e^{-i\theta }a_{j+1}^{\dagger }a_{j}^{\dagger }\right)\,,}$

где t — интеграл перескока, μ — химический потенциал, Δ и θ — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи ${\displaystyle c_{2j-1}=e^{i\theta /2}a_{j}+e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle c_{2j}=-i\left(e^{i\theta /2}a_{j}-e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }\right)}$, которые приводят к новому виду гамильтониана

${\displaystyle H_{K}={\frac {-i}{2}}\sum _{j=1}^{N}\mu c_{2j-1}c_{2j}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}[(t+\Delta )c_{2j}c_{2j+1}+(-t+\Delta )c_{2j-1}c_{2j+2}]\,.}$

Теперь рассмотрим два предельных случая что проиллюстрировано на рис. 1: в первом случае химический потенциал меньше нуля, μ<0, а остальные параметры обращаются в ноль, Δ=t=0. Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, μ=0, а интеграл перескока и параметр порядка равны, Δ=t>0, то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырожденный уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы ${\displaystyle f=1/2(c_{1}+ic_{N})}$. А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}+ic_{2j+1})}$, ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}-ic_{2j+1})}$[28]:

${\displaystyle H_{t}=2t\sum _{j=1}^{L-1}\left(d_{j}^{\dagger }d_{j}-{\frac {1}{2}}\right)\,.}$

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться. В качестве возможного материала для реализации майорановских состояний Китаев предложил использовать нанопроволоки из p-волнового сверхпроводника, то есть одномерные свехпроводники с триплетным состояниями куперовских пар.

В работах 2010 года[31][32] наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В работе[31] рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида

${\displaystyle H=\int \Psi ^{\dagger }\left[\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)\tau _{z}\otimes \sigma _{0}+\alpha k\tau _{z}\otimes \sigma _{z}+\Delta _{Z}\tau _{0}\otimes \sigma _{x}+\Delta _{sc}\tau _{x}\otimes \sigma _{0}\right]\Psi dy,}$ (1)

где волновая функция имеет вид ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }=(\psi _{\uparrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow },-\psi _{\uparrow })}$. Первое слагаемое в подынтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении y, спин-орбитальное взаимодействие вдоль x, а магнитное поле вдоль z. Матрицы Паули ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \tau }$ действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида

${\displaystyle E_{\pm }^{2}=\Delta _{Z}^{2}+\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+(\alpha k)^{2}\pm 2{\sqrt {\Delta _{Z}^{2}\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}\left((\alpha k)^{2}+\Delta _{Z}^{2}\right)}}.}$ (2)

Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона ${\displaystyle \Delta =|\Delta _{Z}-{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}|}$. Когда выполняется условие ${\displaystyle \Delta _{Z}>{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}}$ говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На рис. 2 показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из ур. 2 при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида αk приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель ${\displaystyle \Delta _{sc}}$ в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней ${\displaystyle \Delta _{Z}}$, которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве ${\displaystyle \Delta _{Z}=\Delta _{sc}}$ (химический потенциал ${\displaystyle \mu =0}$) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимости[31].

В двумерном случае реализация майорановских фермионов оказалась возможна в модели предложенной учёными Лян Фу и Чарльзом Кейном в 2008 году[33]. Использовав модель топологического изолятора (проводимость в таких материалах существует только на поверхности) с нанесённым на его поверхность тогкого слоя сверхпроводника s-типа, они рассмотрели гамильтониан для волновой функции (в формализме Намбу) ${\displaystyle \Psi =((\psi _{\uparrow },\psi _{\downarrow }),(\psi _{\uparrow }^{\dagger },-\psi _{\downarrow }^{\dagger }))^{T}}$, где стрелками обозначены проекции спина, а индекс T отвечает за транспонирование, вида[34]

${\displaystyle H=-iv\tau ^{z}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}-\mu I\tau ^{z}+\Delta _{0}I(\tau ^{x}\cos(\phi )+\tau ^{y}\sin(\phi ))\,,}$

где v — скорость электрона на уровне энергии Ферми (фермиевская скорость), I — единичная матрица, σ=(σ^x,σ^y) — двумерный вектор составленный из матриц Паули, действующие на спиновые состояния, τ^x и τ^y — матрицы Паули действующие на пары ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$, смешивая их между собой, μ — химический потенциал, Δ₀ — параметр порядка сверхпроводника. Блочная часть гамильтониана ${\displaystyle H_{0}=-iv{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}-\mu I}$ — это гамильтониан для квазичастиц возникающий на поверхности топологического изолятора. Куперовские пары из сверхпроводника из-за эффекта близости могут находиться на поверхности тополонического изолятора, приводя к эффективному гамильтониану взаимодействию аналогичному сверхпроводнику p-типа, где по теории Китаева существуют майорановские фермионы. Отличие состояит в симметрии этого гамильтониана по отношению к обращению времени, что приводит к дополнительному вырождению. Но используя внешнее магнитное поле ориентированное перпендикулярно поверхности сверхпроводника, которое нарушает симметрию по обращению времени, возможно сформировать сверхпроводящие вихри в рассматриваемой системе. Рассчёт показывает, что майорановский фермион возникает в ядре вихря[33].